数学建模之主成分分析法.doc
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1、 . . 主成分分析主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量,将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少,能解释大部分资料中的变异的几个新变量,即所谓主成分,并用以解释资料的综合性指标。1、主成分分析的应用(1)我国各地区普通高等教育发展水平综合评价。(2)投资效益的分析和排序等。2、主成分分析法的步骤对原始数据进行标准化处理用表示主成分分析指标的m个变量,评价对象有n个,表示第i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值转化为标准化指标,即式中:,相应地,标准化指标变量为计算相关系数矩阵R其中:,是第i个指标和第j
2、指标之间的相关系数。计算相关系数矩阵的特征值与特征向量解特征方程,得到特征值;再求出相对应的特征值的特征向量,其中,由特征向量组成的m个新的指标变量为其中:为第1主成分,为第1主成分,为第m主成分选择p(pm)个主成分,计算综合评价值。(1)计算特征值的信息贡献率和累积贡献率用表示主成分的信息贡献率,则有用表示主成分的累积贡献率,则有若接近于1(一般的围为85%95%)时,则用前个指标变量作为个主成分,代替原来个指标变量,再对个主成分进行综合分析。 计算综合得分用表示第j个主成分的信息贡献率,则有根据综合得分值进行评价。例题:高等教育是依赖高等院校进行的,高等教育的发展状况主要表达在高等院校的
3、相关方面。遵循可比性原则,从高等教育的五个方面选取十项评价指标,具体如图1。中国统计年鉴,1995和中国教育统计年鉴,1995除以各地区相应的人口数得到十项指标值见表1。其中:为每百万人口高等院校数;为每十万人口高等院校毕业生数;为每十万人口高等院校招生数;为每十万人口高等院校在校生数;为每十万人口高等院校教职工数;为每十万人口高等院校专职教师数;为高级职称占专职教师的比例;为平均每所高等院校的在校生数;为国家财政预算普通高教经费占国生产总值的比重;为生均教育经费。图1高等教育的十项评价指标表1 我国各地区普通高等教育发展状况数据请对各地区高教发展水平进行综合评价值与排序。解:定性考察反映高等
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