运筹学2.4内点算法.ppt
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1、 2.4 内点算法,惧述催镐讹均恃稠欲蔷文作甲扒渝骋狱舰忍袭督火俩替镭冬惭奎歪怯薯焉运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,算法复杂性,计算模型,假设基本运算(、比较、转移)均可在单位时间内完成.,算法执行时间可用算法所需执行基本运算的总次数.,输入长度,字符串(二进制或某大于1进制的代码序列),对于优化问题:问题维数、约束个数、n、m,时间复杂性函数,算法分类:多项式时间算法,指数时间算法,惋册阀啡渡妒朝牡液敖汽寐坡圾腋寐抿蹿堡评挎舟菌迂赌四醒议锯搭瞎器运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,大量计算实践表明,单纯形法及其变形是求解LP问题的一类收敛很快、相当成功的算法.,例如,
2、对形如:,的典型LP问题,在假设问题中的数据按某种合理的分布取值时,理论上可以证明单纯形法平均经次迭代即可确定问题的最优解.因此,在一般情况或平均意义下,单纯形法是很有效的.,侦侄宾奉踢灶榜棕骡挝偏披捉估藻怒罚酥综鸥佛十去涡滔姜莽撅骸瑰蜀札运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,但是,当把单纯形法应用于下列LP问题,时,则它需经 次迭代方能确定问题的最优解.,指数时间算法,L.G.Khachiyan(1979),店绳飞身堆讳疗均奇缮渴色署箭另抢锗邦篱胶矣正宪框苫恩刮柔兑伎递苛运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,LP与严格线性不等式组的关系,以下都假定A、b、c均为整数,(1),
3、Proof:,Th.:存在求解LP问题的多项式时间算法的充分必要条件 是存在求解形如 的线性不等式组的多项式时间算法。,令,写出与(1)有关的LP:,行向量c可任意给定,如取 c=0,(2),喳祥坑烹缆起幂饯率疆枢刺部属隆档顿差眼毛兔捏澡沸泛裔环烁铱甩肄角运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,若有多项式时间的LP算法,则可判定:,问题(2)不可行这时不等式组(1)无解.,得到(2)的最优解或判定(2)无界,这时必可得(1)的一个解,在多项式时间内求解了问题(1),反之,若有一多项式时间方法求解闭(弱)的线性不等式组(1),考虑问题(2)的对偶:,对偶Th,求解问题(2)可归结为求解关于
4、变量 的下述弱不等式组,噶唆茄凤侄炕抖沤窗吮邓憎皂忠匀躬豹手步葬长艇亚驰吓浙职荤篱族胚砸运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,否则,再考虑另一个弱不等式组:,若它有解则问题(2)无界,否则 问题(2)不可行,总之,最多求解两个弱不等式组就完全解决了LP问题(2),从而得到求解LP问题的一个多项式时间算法,若该联立不等式组有解,则 为问题(2)的最优解,为其对偶最优解.,谆害泣鬼埂唱恬承土斡糜凋绪都蒋等荡秤担察冬满脖敝送背阅笔杜管轩猫运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,(1)与严格(强)线性不等式组的关系:,(3),令,则由线代行列式理论易证,设,且(否则LP问题很容易求解),
5、引理:设B是矩阵 的任一子方阵,则,亦中卧俱机棵膊休幼锐殆溺遁捐仙壮膳撑敢袭蠢喳总奎秦头捷主兜江焚责运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,记 为A的第i个行向量,.代替(3),考察不等式组,其中,令,显然,x为弱不等式组(1)的解,引理:对 中任一点,必定存在一个,使得:,1.,2.A的每个行向量均可表示为向量集 满足 的线性组合.,直袜辞撩咸完痹蜗浩凡绥引怜过愤忠捆组糟冶睹留员于吗议厘兜艰国肥番运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,推论:若有一个求解严格线性不等式组的多项式时间算法,则就有一个求解弱线性不等式组的多项式时间算法.,么军气普拧笨键彻痕睦铣瘁蚤陌脉奏房库婿庇痪谷祟
6、岳她酥振技瘁碴燎耻运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,椭球算法(ellipsoid method),将严格不等式组(3)的解集用k表示:,思想:,先选取一个很大的球,由于它可取的足够大,故若,则可认为.然后用一个迭代方法,依次产生一系列的椭球,k,熬饵悄侣泣参轴专野梦溉暇癌乾压打纲琅戍谓趴胞叙缴她怨遮蕾棚窒侠慕运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,这样随着迭代的进行,椭球的体积渐趋于0,但其中仍包含有k中的点.,当迭代到一定程度时,则可求得(3)的一个解或判定它无解.,否则,将 用一适当超平面分成两半,使其中的一半必与k相交,设法产生另一个椭球,使其包含 的这一半,从而保证.
7、,同时,又要求 的体积至多为 的1倍,关键:由 产生满足要求的,实质上 只要决定 和 即可.,一般地,若已知椭球,检验 的中心 是否为(3)的解.若是,终止,输出,n阶对称正定阵,也郝毁厉辣瞩李陌委硫今召缝绎止牟锈篡驱旦啤宴市枫巾蛙赞帧惯锻巫织运筹学2.4 内点算法运筹学2.4 内点算法,求解严格线性不等式组的椭球算法:,S 1:取,S 2:若 满足(3),则已得到解,停止.,S 3:若,则不等式组(3)无解,停止.,S 4:设不等式组(3)中未被 满足的某个行向量及右端向量 分别为 与,令,转 S 2.,L问题的输入规模,疏充挑情袄祭安蔗犬寞尿化桐况羞烬贬初捞兹果戎桔抓掏屹察伸螟踪倪樟运筹学
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