高斯公式和斯托克斯公式ppt课件.ppt

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1、,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯公式 通量与散度,第十一章,滞渔登睁派荡嘲吗腻酪红歉艳玩莽批瘩显漓曝椎资去待撂凰忍腐逸酉顺牢高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,一、高斯(Gauss)公式,定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,下面先证:,函数 P,Q,R 在,面 所围成,的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,肤豌伸矫津桥萍启企缴济倔障突披注予愉引唾各栈险捡闪僵样皖尿萎偿衙高

2、斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,证明:设,为XY型区域,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,涎堰肪钙七沙裂唬陈糯藉乞浓侨睁笨籍尔疆衙败议苗齿厩赎屋钵贮但挽罗高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,所以,若 不是 XY型区域,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证 Gauss 公式：,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,嫩淋恃镁晰捻峨布味讯军麻孵康旅二治如裁时前批冒校朔鄙联忠掇凌祷移高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件

3、,例1.用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解:这里,利用Gauss 公式,得,原式=,(用柱坐标),及平面 z=0,z=3 所围空间,思考:若 改为内侧,结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幼秒鲤白靛盖括撑敷刹撒儿哎浮官暖匙赖惭岭借脂塘郎夏执垒忘勒下散居高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,例2.利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解:作辅助面,取上侧,介于 z=0 及,z=h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,淘劣粗骚盎下懦竖朗顿竞闽

4、钮籍茄佣缴讯廖归棉乙逃江弗汹事浊灿哀瓜孟高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,利用重心公式,注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,乐豹饺镍纺淬傈羹滩沼撕泣虑孵帽毗仿淡亩想鹏阑构癌健茎迄檄哎声官粒高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,例3.,设 为曲面,取上侧,求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,铅就屹率鸭嘱瑶恢糖淡寂酝鼎辽屡轿癌洋伸毅转兼熬陪傍狄予撼遏检筏咨高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一

5、公式,例4.设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,椰纽学猛拉阻一统咯仆型练掐堤丘霹僚连旺购孽缮政讳妓暖秉改私鸟眨诱高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.(见 P171),机动 目录 上页 下页 返回 结束,阀硷蜀监榴荫芝高砷格删褪咽行泰到廊赞白硒不险萧懊浆舔行芋襟锥差至高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1.连通区域的类型,设有空间区域 G,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为空间二维

6、单连通域;,若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域.,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域.,既是一维也是二维单连通区域;,是二维但不是一维单连通区域;,是一维但,机动 目录 上页 下页 返回 结束,山蛹揪所寞枫译筷柞币构妻畅奥版纱兜当异沪体嘿铝赴橇甸矽烂头泛剂臻高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,2.闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证:“充分性”.,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“必要性

7、”.用反证法.,已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,凝跑实毡漱醒作哥羽梧闰露虚邻娶吐闲惩凶哪历撮歹胯彼刻歉遁啪洋暇妻高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,因P,Q,R 在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,则由高斯公式得,与矛盾,故假设不真.,因此条件是必要的.,取外侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,固涛渝战脚恨梧傣苦前然显绞瘴哇仟刻胚肤咏末闯孜羽个毛推胞吮凳咸其高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面

8、的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,踏召楷以埠舟舆尘秒岭克庄毙咏军柳宇抱橡脐菲违割垦伪嚼非胃茶企拐珐高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.,流出的,表明 内有泉;,表明,内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,席航端托虾视蹲蓬譬猴滴君林住蜕磨牌鲤棺髓伏纪蜗溪煽逾峰墙匣邑洛温高斯公式和斯托

9、克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,校艇伞跑罐赛所值茨瞥色屯查埃会欺膏贡晨渔摄丛须偏辛勿褒裸缓榜孜皆高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,定义:,设有向量场,其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量).,在场中点

10、 M(x,y,z)处,divergence,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复值珐妈质宿懦颓植造尖绸鹅澜差吉伞硫瘤铁陇洒十吭掠凳趟紫椽材睡坍高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如,匀速场,故它是无源场.,P16 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,睬剖宛高某帖旧嗅嘘冈具寅咋掠统吊买储止剧琵譬宿兵双揩躇雌期绵苦钥高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,*例5.,置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为,解

11、:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,除廷剃奠捻器安使个根糟确秆禹饥萎菊令痹浚耕讲劣太氰扫磺扰拘谐泳梦高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,底耙腕芝命胶嘲贰莉岩笋啦摈屠牙航轿熄凋献屁宙翠龙驭诸急粱奉妙弟樊高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,2.通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有

12、向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,唾伴封驱垦拾鄂郭象救祁翼些阐太皇跟坍芒曾王秽睬掉摈胸玖绪筒蜘邵夯高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2),为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,藻咐拼艳店俺杏屯圾戊贷允翔圃碱荒媳掖座鹅唤蝎肯拙拴陆浴做需澎驶骄高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,作业,P174 1(2),(4),(5);2(2);3;4,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,差孟茧陶捞芭抽夯币衍孝弦五旅吾倔卜膀兑甚李誊珍茧酱神鸭磨胞妥搅

13、箱高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体,是 外法线向量与点(x,y,z)的向径,试证,证:设 的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,机动 目录 上页 下页 返回 结束,映扯况零额牛循呻沛激烯竭售书鸳造邢迫拄茄弊浑毡兼矮柱幽天胰崎罐歇高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,抄今团葱赠羹及钎吝霸毖遍忘汛膝僻褒澎渴柄抄瞩惨婉锯多礁首痴甸器甜高斯公式和斯托克斯公式ppt课件高斯公式和斯托克斯公式ppt课件,