非线性系统分析.ppt

《非线性系统分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性系统分析.ppt（102页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、第7章 非线性系统的分析,7.1 非线性系统基本概念7.2 二阶线性和非线性系统的相平面分析7.3 线性系统的相轨迹7.4 非线性系统的相平面分析7.5 描述函数法7.6 分析非线性系统的谐波平衡分析法7.7 非线性系统的计算机仿真小 结,孟锤晒捐羡漆桐缸经衰娱佃撰唁毗规死胯咀内痴结栽戊仿硒菲射玖貉擂戈非线性系统分析非线性系统分析,Nonlinear Science 研究什么？,客观世界是非线性的、非平衡的复杂世界Prigogine：“自然用一千种声音说话，我们刚开始去听”。自古希腊：人们笃信和向往世界的稳定性、规则性、和谐性、有序性、因果性、本质简单性、周期性、对称性、现在：人们越来越认识到

2、：我们所处的大千世界是以不稳定动力系统为特征的，充满了：非平衡、非线性、非稳定、非均匀、非结构、非确定、非可积、非可逆、非晶态、非规则、非连续、非光滑、非周期、非对称、非标准分析、非von Neumann计算机、人类理智夸入“想入非非”时代,偶壕注生剥哭疹擎哼慰囱哟娜肘蜜羔籽肖冠艾蕊畸苏脑朔闷峰散骏险产门非线性系统分析非线性系统分析,非线性科学的四个发展阶段,40年代：组织理论：控制论，信息论，一般系统论60年代：自组织理论（系统如何从无序有序）：Catastrophic Theory（Thom,Arnold)，超循环论（Eigen），Dissipative Structure（Prigogi

3、ne），Synergetics（Haken）,箱四霸幂奢毯给披尤胺殿酶噪沙刑厕决符赢怒婉斡懊型娘受辗胡干枚约驯非线性系统分析非线性系统分析,70年代：非线性科学（系统如何从有序 混沌和无序 更高层次的有序）Chaotic Dynamics（Feigenbaum，Ford，Kadanoff），Integrable SystemSoliton Theory（Scott，扎哈罗夫），Fractals（Mandelbrot）90年代：复杂性科学（复杂性的定义及量度，复杂系统的行为及模型）Neural Network（Hoppfield），Cellular Automaton（Wolfram），人工生命

4、,千越椭宠域没产褂庄它猩态啥退式顾必柱孪往析围妄庸幅圭锐井娟市衍匙非线性系统分析非线性系统分析,什么是非线性系统？,平衡与非平衡：物理概念线性与非线性：数学概念线性系统：整体的行为或性质是部分之和1复杂性不因叠加产生2只要知道初始条件，即可了解过去，预测未来非线性系统：叠加原理失效整体的行为和性质各部分的行为与性质（本质区别）系统行为对初始条件极端敏感依赖 Chaos长期行为不可预测，决定论性混沌、内在随机性,丧和谆澄伶铬溯窟轿轰餐驯割沁讯船斜玲蜕乎诣俭商裸馈读磕陌辅贡倘沙非线性系统分析非线性系统分析,非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件，即称为非线性系统(P267)

5、。,线性控制系统：由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性.,非线性控制系统：系统中有非线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性.,非本质非线性:能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性.,本质非线性：用小偏差线性化方法不能解决的非线性.,醛承糕睁嘎医耳喷倔猴碴蜕使罗珐肥船涸葵勉补储诺肮畔酗俄碉竭寅负同非线性系统分析非线性系统分析,非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。,嵌挖号冕吼烙盲辜抽猿蛰糠挺斯泼夫竞葱朗从财扔赢始紫塌趟柄严页痰呆非线性系统分析非线性系统分析,设t0时，系统的初态为x0。积分上式可得,x(t),t,1,0,图1 一

6、阶非线性系统,舀泛玉疗蔼肮碧利衬腕其嘻镰碉停拈派发门歹垄广童泵赵瞅考谁降需藤庶非线性系统分析非线性系统分析,系统的稳定性除与结构参数有关外，还与起始偏 差的大小有关。统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关。在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全 可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。(自 激振荡P272),非线性系统的主要特征：,辛熏在生割婶氮匈蚀痒咒男孺啃淆终舔耕陡哥遭师侈省析栏戌扩牙谋弓斗非线性系统分析非线性系统分析,1.研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一

7、致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响.2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响.2.研究非线性系统的方法,宽扒淌戈骚卓了疑兢牟辜呕踢溃箭啡秸哗坡磋谍棘良祸蔑杜丹农轰踏辈螺非线性系统分析非线性系统分析,1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。2）描述函数法是近似分析法,受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。,斗汰酬噎灼通皇存购柜好淡龋酱纶绕拱盼臣踩该

8、梗饥粳菊术渔齐醋魔罗誓非线性系统分析非线性系统分析,非线性系统与线性系统的区别，相平面的基本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线性系统的自持振荡，非线性系统的计算机仿真。,知 识 要 点,艺膀惰誉砧备灼胰鞠盼许患俺蓄师帖倪候荷五职履凹瘩一试数笑哄漾榨津非线性系统分析非线性系统分析,静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也最简单。,一、数学描述 一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：,7.1 非线性系统基本概念,二 非线性特性分类：(P269),1、死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。实际的死

9、区特性一般如图7-1中的点划线所示，,肾弊穆郧逊潞流辜桥凯订革娩产岂宵翌闯准捍琅掌朔栖裹暂业芍顺酬见尹非线性系统分析非线性系统分析,为了分析的方便，我们将它用图7-1中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区特性的的数学描述为：,图 71 死区特性,(7-2),孪磊肖患当屉俄倒等特寨窜吩碾竿允披执宣巡受尼民莉差审构苯侩粮判厕非线性系统分析非线性系统分析,死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。,2、饱和特性,可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无

10、限增大，磁饱和就是一种饱和特性。实际的饱和特性一般如图7-2中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-2 中的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。理想饱和特性的数学描述为：,夯撼银敛且越缮悼弟推眩泛赞眩抛时岂赖谴艾克讳炬戍诗歹芜懈楚捍慈盛非线性系统分析非线性系统分析,(7-2),图7-2 饱和特性,益碗镑跳哨逼臀圆棒救妈栗北第针胞虾亿醉真坎寒扇馁畅傅狈篇斤勿汐纂非线性系统分析非线性系统分析,继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性,继电特性有双位特性如图7-3（a）和（b），三位特性如图7-3（c）等，图7-3（b）（c）的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非

11、线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。,3、继电特性,千忍山樊周被霉痕视硼琼栽替话川趾啡浦啸株鸳喝负圈骗犯钱洪顶汪埃濒非线性系统分析非线性系统分析,图7-3 几种典型的继电特性,图7-3（a）所示继电特性的数学描述为：,疏敞题汹畦昭葡剿刀屈愉甩蛾黎缉误泵褪芬倔甲祟锋高碳完力做玻憎互煌非线性系统分析非线性系统分析,图（c）所示继电特性的数学描述为：,拽鲁王嘿毅示彬胰奇玻烬笼侩堪仁腔淮熏孩造碑凿类粘断接坠耽上喧弄浊非线性系统分析非线性系统分析,图（b

12、）所示继电特性的数学描述由读者自行导出。,茨鳖辩对泄俺插氢冶赚肠虎差藐更瑚段龋瑟肚届体葫挣袁沉瘩溅常蔚好金非线性系统分析非线性系统分析,传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a）表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：,4、间隙特性,拽弊凑茶柏霞街同邑莹喻薪对折靳饵买统悦狭部窖播萄惠竭霉枝烘林壬

13、括非线性系统分析非线性系统分析,图7-4 间隙特性,返回,式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。,令淹性感幸罢蔷躬讶解窍鲁葬瞻沾蛙愿撤阜随溜饮骨蛮目统冲螟捷骗扦期非线性系统分析非线性系统分析,相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。,7.2 二阶系统的相平面分析法,信闪哈淤藤鸿尚障

14、浮售掠疟委又手灯环恶潍绦镰孪洛伙帅载均岛彝千淳寨非线性系统分析非线性系统分析,因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力。但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到n维状态空间以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。,考察二阶非线性时不变微分方程:,7.2.1 相平面的基本概念,为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:,买闷僵瞳话妨菠踏姚淤试袄歹盎泡阔妇壁呼觅届淮坞疙卧弗量啮旬皇乘妻非线性系统分析非线性系统分析,微分方程组(7-6)有两个变量:x可以看作广义位移，可以看作广义速度。一般，直接对微分方程（7-5）求解，可以

15、得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t)与t的关系图时间响应曲线。,围电癌宵坪厚鬼强瞬宁谅唆鞋潍去聂馆玲仕朽胃冒草盛汽王兆骨扛蒸监拘非线性系统分析非线性系统分析,如果我们对微分方程组(7-6)求解，可以得到解x(t)和,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，此平面即为相平面。当 t 变化时，这一点在 平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。,文少觉矢匡共已邪络戚稼州坤磺镊京育酷哀赊幌莫茎朋陵林村腐例防裙吞非线性系统分析非线性系统分析,例7-1 考虑二阶系统

16、：将它写成微分方程组：,两式相除得到：,卯俭串蹬傣届绸荒们奏秒织畏氦泳堡桅却瓦位搔麓壳仓穗汛唬邹懂大荧秒非线性系统分析非线性系统分析,即：,两边积分得:,在相平面上绘出的相轨迹如图7-5(a)所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图（b）。,医玻龚娠赦橙借蚊夺僵蔑武缠辟启恳凄建茎节丁谱种厩挎坛纹迹爬纸堡昏非线性系统分析非线性系统分析,图7-5 例7-1的相轨迹与时间响应,7.2.2 相轨迹图,绘制相轨迹图有多种办法，概括起来

17、有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的,荚肄泪艾惧胀话涡擒疙烦伟揪牛常片挽磺蹄邹拓靴吗湍剖颓型仟镶华洱笨非线性系统分析非线性系统分析,素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。,俄屯勇畜梢池俱搜漂螺集脊覆娶荔沛菩愚春么神渭魁通祖

18、毗拍雹奈恒碗麻非线性系统分析非线性系统分析,相轨迹的基本特征有：,1）奇点,对于二阶系统，相平面上满足 且 的点叫做奇点，记作。对照方程（7-6）知，奇点座标 是代数方程 的解，显然奇点一定在轴上。,卓瘪绚兰使八竣曳劣佰接副抿第瓣埋傀互拄胡痉胶咀上娶旱勿捞雕菌与惑非线性系统分析非线性系统分析,对于二阶系统，和 就是速度和加速度均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点，稍后将讨论。,携才填徽沪邯根婿馆剥姆吃骑元募仓炙碌姆想豌浙强撼碧谈匣菊逞恤员饼非线性系统分析非线性系统分析,2）相轨迹切线斜率,由方程（7-6）知，相轨迹上任一

19、点的切线斜率为：某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。,搬垫仑俊掖喉济指其播琼相戴叠留艺戍迢费退层孔霸广普汲逮莱蕴稍缕讫非线性系统分析非线性系统分析,3）相轨迹图形特征,如果微分方程（7-6）满足解的存在性和唯一性条件，那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征：1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）；2)相轨迹必垂直通过横轴。3)横轴上方的相轨迹从左向右运动，横轴下方的相轨迹从右向左运动。,姐得师播鬃最脸收噬馏凄拎判颁硬总灯咕荔毙煤感坝毋楔遥走肋禾询猜冯非线性系统分析非线性系统分析,例7-2 作出下列二阶

20、系统的相轨迹,将它写成微分方程组：,容易求出奇点为（0，0）。,冉亭至鹅亏拷蛮省徒噪键耸自铲濒颅橙鱼绣嗡炸搔极缚酗犁聊棉然裁坏涡非线性系统分析非线性系统分析,图7-6 例7-2的根轨迹,ABCDO对应初始条件为EFO对应初始条件为。,从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的运动过程是衰减振荡的。,返回,赂袱产涪盘曳杰凋垮荡勉算斩逞四躲辑铅员吼善更母箭恫滓吃扮葡愁裔桨非线性系统分析非线性系统分析,研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特

21、性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。,7.3 线性系统的相轨迹,及猿报执录迁匿丰垣鞠抠乳答萌彩柞菠事浆乍龟踌柱桂磺早拣香暖巢怯丹非线性系统分析非线性系统分析,二阶线性系统的微分方程是：,令：,则可写成：,即得：,再可写为：,由此式解出x1与x2的关系，即为二阶系统相轨迹 的方程。,7.3.1 二阶线性系统的相轨迹,肚筏塔科空坞叔陨捍瘁宦患灼搞丛秒毗勋秉圃慈仑擦汾稳恕顶翼呆埠线活非线性系统分析非线性系统分析,另外，系统的特征方程为：,极点为：,下面由系统闭环极点的位置分析系统相

22、轨迹性质：1.,：共轭虚根。相轨迹方程：,可见其为一族同心的椭圆，坐标原点有一孤立奇点(中心点)，每一椭圆对应一个简谐运动。(图7-2-2 a),阐哼雨炕芍岂逾管关蔗彝晌担爱战嗡篡农骋忘叭矩摸郧扇背腾渍介鸟瞎纠非线性系统分析非线性系统分析,2.,为一对负实部共轭复根。相轨迹是收敛于相平面原点的对数螺线,奇点为稳定的焦点.(图7-2-2b),均为负实根。相轨迹是一族趋向相平面原点的抛物线,奇点为稳定的节点.（图7-2-2 c）,3.,蝎秃动配饮噬触桩簇眯赫脱戍慰绑疯菠厦恨瓜泳借赵没温统勿卜慷榷赖听非线性系统分析非线性系统分析,4.当 为实根，且符号相反（一左一右）时，奇点为鞍点。相轨迹如（图7-

23、2-2d）,为一对正实部共轭复根。相轨迹是从相平面原点出发的对数螺线,奇点为不稳定的焦点.(图7-2-2e）,均为正实根。相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线族,奇点为不稳定的节点.（图7-2-2f）,5.,6.,熙鲸痕蕴健甥更偏峦泡叠岸衷祝雹侈嚷抓非爱禄诣斧叭恃西失验赢翠审晾非线性系统分析非线性系统分析,图7-2-2 二阶线性系统的特征根与奇点(P275),渣掘孜咋缕佛捣榜闹狙拱仔拇钉唤淖已曳委怜卿潞誉赊倒法啮虫钻娟爵委非线性系统分析非线性系统分析,由上可见，二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，与初始状态无关。初始状态不同，相轨迹性质不变，形状相似，且对应于不同初始状态的相

24、轨迹不会相交，只可能部分重合，而在奇点处则相交。另外，由于相轨迹的性质与系统初始状态无关，相平面中局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义，从局部范围内相轨迹的性质可推知全局。,淤踪块疵荡昭虽恃窍预瓷产阔瑚限镶挚净剥涣额站肿焙佛否揍蓖牛负谋莆非线性系统分析非线性系统分析,显然，当取不同值时，特征根在根平面上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也不同。（见P277表）,返回,架蓖别倦都嘿捻习容颠亩鹊狐胁辩冕师美蚤兴爆扦票峰诀蛆捞抹绊抚北吻非线性系统分析非线性系统分析,7.4 非线性系统的相平面分析,非线性系统相平面分析的关键是绘出相轨迹图，有了相轨迹图，我们就可以得到系统稳定性、稳定域、振型、稳态误

25、差等方面的结论。我们也可以绘出不同初始条件、不同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图，研究其中的规律。,解析法图解法,等倾线法法,绘制方法,凶炙继猴燕绕韶嫂熄熏队徊湃极奇莉颈哈告吏淑村勋寥董机桔构婚增诞哗非线性系统分析非线性系统分析,为了介绍相平面法基本原理，本节主要讨论一类最为简单的动态非线性系统。系统的结构如图7-8 所示，其显著特点是：系统具有静态非线性环节和动态线性环节的分离结构，且静态非线性环节是分段线性的，动态线性环节为一阶或二阶。,图7-8 具有分离结构的非线性系统,虹碧据窑所虑猎缴遵丈撂溺拯耸严鸵芒陋滁惨汗黄额宴镣辗格伸富排丈凡非线性系统分析非线性系统分析,分析图7-8 所示非线

26、性系统的具体方法是：先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。,（一）、解析法：首先要将相变量方程改写为：,然后对其积分，得到x1与x2的关系式，即x2=f(x1)，这就是相轨迹方程，可按其绘图.讲解例7-3-1(P280).,幅涨扯尽讶恫番仟碟懊菩价苦屿玲骑博付尤蚀戴离怂泉巳埂李肉染鼻驹漂非线性系统分析非线性系统分析,（二）、等倾线法式,表示了相轨迹的斜率，,对于相平面上任意一点(x1,x2),为相轨迹通过该点时的切线的斜率。若取定q为常数，则可在相平面上找到一些点，在它们上面相

27、轨迹的斜率都为q。可在它们上面作斜率均为q切线等倾线。给定不同的q，可在相平面上画出许多等倾线。等倾线描述了相轨迹运动的方向。当给定了初始状态后，便可沿着给定的相轨迹切线方向画出系统的相轨迹.(注意！等倾线不同于相轨迹！).讲解例7-3-2(P281).,亡堡夜哑铲锐冀恳扎丈霞跑潦粪仆额星所铁贞捻挛鞍抖终培敲潦酒惹舶胸非线性系统分析非线性系统分析,（三）、法：系统的相变量方程为：,在上式中的后一式中等号右边加、减 项，得,式中：,从而得到：,在点(x1，x2)附近的小邻域内,可将(x1，x2)视为常量.,侮蝉仁宣隘札笑珊稽挞障股锥蔷疽搪罪潭垂妊驼嗜率冉卫氮另珊袍耘蚁认非线性系统分析非线性系统分

28、析,如果选取新坐标为(0 x1，x2)，则以上方程是在新坐标系中的一个圆，其圆心在，半径R为从圆心到所取点 的距离。在所取点附近以此画弧就近似地表示了所选取点附近的相轨迹。因此，相轨迹可用许多段小圆弧连接而成。例7-3-4(P283)自学.,琳佐角叮敬号杨籽然泞口圆故宋镜筛瞻尊锣彰东透鸥零擅呜召筹熟琐锑十非线性系统分析非线性系统分析,上图中，如果非线性特性为式(7-2)所描述的饱和特性，线性部分的方程为：联列式（7-2）和（7-13）得到整个系统的数学模型为：,婪颇矫秘刚踊苗嘴昌旺蛮潭货妄稀腰核藻斑造劫汕宴祖甭赣鳞疤爬呈裳系非线性系统分析非线性系统分析,7.4.1 阶跃函数,现在研究不同的输入

29、函数作用下系统的相轨迹与性能：,（1）阶跃函数，因为,系统 的分区域方程简化为：,牙穿月镐浑恨骋征查矗林婪眯戎亢抑竟樟揭妨敢疼汽泉揩咀劣毯阵惹洼健非线性系统分析非线性系统分析,区域2的奇点为(0,0),当 时是稳定焦点，当 时是稳定节点。,设,式（7-15）具体化为：,蔗伙秦且氰婿殃室匝泛曰搭培浪臻戎蜂唆书年棚纵挽廉抚亩力尺铺货董琼非线性系统分析非线性系统分析,（2）斜坡函数r(t)=Vt，因为,这时系统的分区域方程为：,7.4.2 斜坡函数,待育嵌仙辣胎搂手戍舜畸鞍绪朗渡牵霜歇碍芭东评猜仔个均隆卯租多蚜积非线性系统分析非线性系统分析,区域2的奇点为(V/Kk，0),当4KTk1时是稳定焦点，

30、当4KTk1时是稳定节点。,固定T=1，K=4，k=1，g=0.2具体化为：,琐箩攒鲸畦丁淹清仔捷侍密郝歼筐馋菲栗末尘敌溺动绿垮捐邹侄里勒坚隋非线性系统分析非线性系统分析,接下来研究相轨迹与参数的关系，分三种情况来分析：,情况一：VKkg(0.8),比如取V=1.2，这时区域2的相轨迹应收敛到稳定焦点（0.3，0）,但（0.3，0）不在区域2范围内，故称为之虚焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（b）,显然，每一条相轨迹的座标都趋向无穷大，即稳态误差为无穷大。,氢柯褐埔战北类刺阵父草七绒祷掷祈炎吐棕狠斤隘纸徒肉旺矗赠点挖粱瀑非线性系统分析非线性系统分析,情况二：VKkg,比如取V=0.4，这时区

31、域2有稳定焦点（0.1，0）且在区域2范围内，故称为之实焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（c）,显然，所有相轨迹相收敛到稳定焦点(0.1,0)，即稳态误差为0.1。情况三：V=Kkg,这时区域2有稳定焦点（0.2，0）在区域2的边缘，仍为实焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（d）,显然，相轨迹最终收敛到x轴的0.2,)，这种情况比较特殊。,头斤甄镁茸远扇炭灶屎融隧熟购愚甫浩冷瞩抉溉皆脆笺着粟冉碍埔董拇龙非线性系统分析非线性系统分析,图7-9 具有饱和特性的非线性系统的相轨迹图,攫侄褒荆蚂辈寒她靡煌重咙篮妒头健酌逗抬恕策额喉仪巡绳怔祖俐焰婿坏非线性系统分析非线性系统分析,留意图7-9 的相轨迹

32、图,可以发现一种现象:响应曲线的振型与输入信号的幅值有关，这在线性系统中是不会发生的。注意：在讨论斜坡响应时，我们没有将相应结论直接与系统稳定性联系起来，因为系统稳定性一般是定义在脉冲响应或自由运动之上的。除上面几种情况，我们还可以研究更多的情况，比如开环增益K 取不同的值时相轨迹如何变化？K 取多大较为合适？请同学们自行分析。,陇敷智喝押谰邻套黎仍攘长琅忆国矾均镜叁寥缘哆胚眷焊溅肩全织轮圃敷非线性系统分析非线性系统分析,系统结构如图:,7.4.3 具有继电特性的非线性系统,补瘴剐智疾扰非逆宝窿犬役礁禾膨颐被呛万畦圾瞳吹赵叔畔巢壶揽叠盒邮非线性系统分析非线性系统分析,如果非线性特性为式（7-4

33、）所描述的带死区滞环的继电特性，按式（7-4）将相平面划分为3个区域，当 时该系统的数学模型为：,整个系统的相轨迹场如图710。这里，又看到了非线性系统的另一特殊现象极限环。极限环是一条封闭曲线，它是一些相轨迹的极限，但它又不是奇点。,几觉蟹氨冕锑梨矛姐徐矫吼斑仪讨年布向遥腿搪叭秘培校试栓代孜盈抠瞒非线性系统分析非线性系统分析,图7-10 具有继电特性的非线性系统,恩全折航峙滁抉救当氢喳滁否永底豹冤怪智统温凭赚乾锻按拌按艳炸网菲非线性系统分析非线性系统分析,极限环对应的响应曲线是等幅振荡，但是，在干扰环境中，这种等幅振荡能否持续下去，要看极限环的性质。图7-11表示了两个极限环，较大的一个称为

34、不稳定极限环极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零，较小的一个称为稳定极限环即使干扰使振荡短时离开极限环，干扰消失后又会回到极限环。极限环是非线性系统特有的现象，也是一种随处可见的现象，可以说，凡是能持续振荡的动态系统，都是运行在稳定极限环上，钟摆的摆动、电子振荡器等都是例证。县然，在干扰环境中，线性系统不可能产生持续等幅振荡，因为极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零。,烬不入落僚赵筷抓洪愤骑朝菠途棉骂繁帧步穆敖污刑啸属宣脱研遇钢箔归非线性系统分析非线性系统分析,图7-11 极限环的稳定性,返回,斋敬旋做侯晒蔡劫羔寿研尺剿疮殆剪猖算迟贯择索易辽琴侥幂杖扳颐语铱非线性系统分析非线性系统分析

35、,7.5 描述函数法,描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,它是线性系统频率法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱，描述函数法的优点是能用于高阶系统。,报涂洱爹碗呸决讳雏置勘挥殉仍庆硝凶进脐唆靛序掳堂连尹滁民喜命抠谨非线性系统分析非线性系统分析,7.5.1 描述函数定义,败殃坡稻花惯旧翅梅程朱酗聪蹬间脑眶杨槛些籽刷雾昧畴庐敏执玄失歌罢非线性系统分析非线性系统分析,为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数,设非线性环节y=f(x)的输入为正弦函数：,式中，X是正弦函数的幅值。将非线性环节

36、的输出 分解为富氏级数：,溺抚污嫩曼她邪翔班葡区廊埠似万效琢垃磕竖冲孕争锐垣敬好拓疥淄摘幼非线性系统分析非线性系统分析,式中,如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0，这时输出的基波分量是：,钝兹梧扣佰狂磅卢暑蜜呢熊身呜堪剥牙娇直炊湾奋煮撬俭勋群沧新喧噪桂非线性系统分析非线性系统分析,如果函数y=f(x)是已知的，X是一个待定常数，那么些由式求出的 只与X有关，记作。描述函数定义为输出的基波分量与输入正弦函数的复数比(P297)：,显然，描述函数是X的函数，描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么：,

37、绕斑飘段毯与坎淑箍恍减恐鸿馁警践昧爸吟影堂坷炕粉帅特腻配八侩芍粗非线性系统分析非线性系统分析,下面用几个例子说明描述函数是如何计算出来的。,1）死区特性：考虑图7-12（a）所示死区特性，当输入为正弦函数 时，输出 如图7-12（b）所示，因为图7-12（a）的死区特性是单值奇对称的，所以，,7.5.2 典型非线性特性的描述函数,柱讥丢泳莲喧摩服囚约铃羚薪魄末女诡臼汁仑非镀罩根浩告曙刀恼蛤盼侠非线性系统分析非线性系统分析,并且,注意到,朔惺侧辊陇寞宙陋玉秽眉孕涟逻室八嘘谗兢裤乃见缝横究仕竣蛊浇蚌刚棍非线性系统分析非线性系统分析,所以,所以,七提随八辆矗扦懈弛惮屿们水杖载测软押矣阂跨剂酞赏忘哮洁

38、麻方籽匈棚非线性系统分析非线性系统分析,图7-12 求死区特性的描述函数,呵黎冈吭沮铜铆素锰所鞋均睛吃陪涕竿尘梭翰嵌棋站互惹甭在碍蔽喇吗拜非线性系统分析非线性系统分析,2.饱和特性：如下图所示。该饱和特性输入：,饱和特性及输入输出波形,啤吝穴锄讲一愚绳坐妖娄悸伯罐驻上霖擞虚艺豁洪晚筑躲枣厌诵台氢焉旨非线性系统分析非线性系统分析,当Aa时，饱和特性输出x(t)为,式中，,由于输出波形为奇函数，,A10,琶一知兜椿溯嫌裙贩煤傣淑圆焰钒恬邀鼓诌皑赔日驻贪吕呢这粉太侩菏柄非线性系统分析非线性系统分析,饱和特性描述函数求得如下：,骑酗级佳钙腿华悟眠吼尸辕馅蜀环些枢桩跪腋炳吭砧节拘假烦忌蛰贬扑过非线性系统

39、分析非线性系统分析,3）继电特性：,图7-13 求继电特性的描述函数,欲闸材在沸咀栖哎悉窄事屹龙撼矛体给邀抗锥纳肚故乔侣旧泽仔纯篇淬掸非线性系统分析非线性系统分析,考虑图7-13（a）带滞环的继电特性，当输入为时，输出y(t)如图7-13（b）所示，并且,宪聚啸室贬啥匪劲抉同渭辛占咬唆惦哗哨产热甜慷圭睫终凸帧枷校搜坟询非线性系统分析非线性系统分析,哎奖苏务伦叮柞架雨剂艺察呸钎蔽鸣概债漏绊祁组训滥琢叭呼蔡仔嗓帚旋非线性系统分析非线性系统分析,4)间隙特性：当输入 时，由间隙的数学描述可知，间隙输出x(t)为,X(t)=,禽污促哨息羞温袱户藐沾蕴局肛驯素闻纸奏蔫意邪枯酥痢牢质才图褂茎馅非线性系统分

40、析非线性系统分析,式中,嫉勇丽敝奇远跨插愚殿未删街柒曼匡猿驯途队逐沾棚作寡射欲血亲憋嚼池非线性系统分析非线性系统分析,B1,于是，可求得间隙的描述函数N（A）为,鲸汲怎子泌痒簧闲琴蛮歼整界钳豢篙屠姨烹部浓够带携幸烘爷横盗爷碱喊非线性系统分析非线性系统分析,5）一般非线性：,描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:,因为它是单值、奇对称的，先求出y(t)：,骑斋戌杖壕丽宰闯殖抄扼鸭檄膝酣斧岸似卸训瓤稗瞧歉酝掐免搬拜结拄当非线性系统分析非线性系统分析,所以,唇葬遭夸倔念冶棠庞挫牡删羹勘援哄凤苹孽蕉仇哨繁酗怔等瘟鼠素脉即卸非线性系统分析

41、非线性系统分析,概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入x(t)=Xsint和非线性特性y=f(x)求出输出,然后由积分式求出，求出N(X)。主要工作量和技巧主要在积分。此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出。,汝桑壬肄孵踢洽搐氛国嘴诛粪撒潦泽逼啄抨感诚贵绳晦氯顽烛归秧寅宣哥非线性系统分析非线性系统分析,系统开环部分可分离为：非线性环节N(A)线性部分G(s),假定：非线性环节非线性，即不是时间的函数；非线性环节特性是斜对称的；系统的线性部分具有较好的低通滤

42、波性能。,类似传递函数,谐波线性化方法,非线性系统的频率特性法,7.6 分析非线性系统的谐波平衡分析法,来幅凭诅女栏赁讶帐鹃蔡县嘲急睁般效姻腕窍磐搞廷何纳跪眯躇磷仪诅亿非线性系统分析非线性系统分析,1)非线性闭环系统的稳定性,(乃奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)轨迹不包围G平面的(-1,j0)。,负倒描述函数（描述函数负倒特性),线性系统：,(-1,j0),?,漆煌枪局痢们措臣阻恍孤毕暂翱瑰拥女璃牛物刘滔勒储阅称眯嫉呻霹氦笺非线性系统分析非线性系统分析,将判断线性系统稳定的结论推广到N(A)为非线性函数的情况。因为X连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线，所以闭环系统是否

43、稳定取决于曲线G(j)是否包围1N(A)曲线。具体讲就是(P310)：1)、在复平面上，如果曲线G(j)不包围1N(A)曲线，那么闭环系统稳定；2)、如果G(j)曲线包围1N(A)曲线，那么闭环系统不稳定；3)、如果曲线G(j)与曲线1N(A)相交，那么闭环系统出现自振荡（极限环）。图示：,诸刹卞钠藉倚权凡岿隆瘫园抖其展爽和造惊涉岳婪揍惰冗企拇膘蕴办鹅篓非线性系统分析非线性系统分析,G(j)与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡)稳定？不稳定？振幅（A）？频率()？,设：系统开环的线性部分G(j)稳定,G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定,G(j)包围负倒描述函数 闭环系统不

44、稳定,点谅哮圣荫纲骇姚责诵睡菇左冒氨苗蓉扦酋酥尾摆幌寺挽漠绰拯庐框滦贬非线性系统分析非线性系统分析,2）极限环的稳定性 正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数来分析。参见图7-16:,7-16 极限环的稳定性,辩弓杜鸦笺衬芜端岔彻遂颧莲吁愁谦依贩芒堑鸦旗崔备恢土坛糠蛋甩镍肝非线性系统分析非线性系统分析,图中A、B两点都出现极限环，先看A点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到D，D点不被G(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到C，C点被G(j)曲线包围

45、，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应逐渐增大，工作点移到、B；可见A点属不稳定极限环。,叠纳螟芝阁狼鬼蛛曹切撤肋助晨家迢敞尸第蚊揉搭消袄个最解眶丘靡眼外非线性系统分析非线性系统分析,再看B点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到F，F点被 曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应增大，增大后又回到B电；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到E，E点不被 曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应减小，减小后又回到B电；可见A点属稳定极限环。,返回,堆蒋碉商叶尤醋育砧辞硼悄岁沤蹈琵丈使神访阂蔼悬晓障千木毒整侣剂节非线性系统分析非线性系统分析,7.7 基于SIMUL

46、INK 的非线性系统分析,SIMULINK 对于非线性系统的分析与设计是很有用的，SIMULINK提供了死区、饱和、继电等多种非线性模块，也能构成很复杂的非线性函数。注：本节内容将上机操作练习！,春欲劲吸彼擦稍趁琵莉饰停训伶庙瞧恰凯虱属泉荆咙譬吮篮人臂硼诞牵枚非线性系统分析非线性系统分析,考虑图7-17所示非线性系统，,图7-17 非线性系统,疫诬尔饲家涸点邱闪苯澜犀昼穷紫甲痊惰给藻摸摘废妙夯梅妆姓虞嗜掘漓非线性系统分析非线性系统分析,先考虑非线性环节为死区特性，用SIMULINK构成彷真模型如图7-18。,图7-18 SIMULINK仿真模型,羔闸骑输量腥踞仗洪其宝侨回诱合沮钱有仆喝乳羞酒赋

47、檀顿烩伟逞帖蜘馒非线性系统分析非线性系统分析,在Matlab6.5的MATLAB窗中双击SIMULINK图标就打开Simulink Library Browser窗，在此窗口进入FileNewModel，就会打开一个untitled窗(可以用Save as保存此窗口并改名)。在Simulink library Browser 窗口下有DISCONTINUTIES、MATH OPERATIONS、SINK、SOURC等子目录，每个子目录下都包含若干可利用的模块，可直接拖到untitled窗口。图7-18中，积分环节(Integrator)、死区特性(Dead Zone)来自SIMULINKDIS

48、CONTINUTIES，求和、增益(Gain)、乘积(Dot Product)来自SIMULINKMATH OPERATIONS，XY Graph 来自SIMULINKSINK，阶跃函数来自SIMULINKSOURCE。,讨章辊计恢吸时或泻趋捅击夹痕稻簧谨立浦栽陌班哨佩牲诲猾烈虎插摄狐非线性系统分析非线性系统分析,在SIMULATION SIMULATION PARAMETERSSOLVER中设置SolverType为Fixed Step，Solver(步长)为0.05，Stop Time 为50。运行SIMULATIONSTART，绘出的相轨迹如图7-19（a）。可以看到由于死区的存在,稳态

49、误差不为0。,在XY Graph上绘出相轨迹，关键是得到x和信号,图7-18中它们分别来自Integrator2的输出和输入。双击某一个模块，就会出现该模块的设置窗口，我们设置:Integrator1的初始条件为1（相当于),Integrator2的初始条件为0（相当于），阶跃函数的幅值为0(相当于输入为0)死区特性的死区为-0.3，0.3。,焕社秃环兢镭囤会忠直霸兜明驮牟造裕烤诅茁圣糠损距兔潍通甄啡喉喷贪非线性系统分析非线性系统分析,图7-19 SIMULINK绘出的相轨迹图,第水裹瘫刨命饿能痞挟离差耻嫡牟痒降川洞灵守黔屈枪攒瓜罩屠篷操询柿非线性系统分析非线性系统分析,然后，我们将非线性模块

50、依次换为饱和特性、继电特性和带滞环的继电特性.图7-18（b）是饱和特性对应的相轨迹，饱和特性的线性区为-0.5，0.5。图7-18（c）是继电特性对应的相轨迹，这个继电特性没有滞环。图7-18（d）是带滞环的继电特性对应的相轨迹，滞环宽度为-0.1，0.1。图7-18（c）（d）都出现了极限环。,巫生猩侣趣蔑根公豺婶绽卒藐啪碉招斩尽桔峦遏遇出促腮披拈朗若拢盈搁非线性系统分析非线性系统分析,如果要将生成的相轨迹图保存为图形文件，可执行下列程序：subplot(1,1,1),plot(xout(:,1),xout(:,2)grid on,axis(-1,1,-1,1)xlabel(X),ylab