常微分方程考研复试真题及答案.doc

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1、-常微分方程计算题2.指出以下方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t+t+( t-1)u=0（2） =*+y;3+=03.求曲线族y=Ce+C* e所满足的微分方程4验证函数y= Ce+ Ce是微分方程y-4y=0的解，进一步验证它是通解。5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程=2*6.什么叫积分一个微分方程.7什么是求解常微分方程的初等积分法.8别离变量一阶方程的特征是什么.9求以下方程的通解（1） ysin*（2） *yy+1=y（3） tg*=1+y（4） =e*p(2*-y)（5） =（6） *yd*=(1- y+*-*y)d*7( *+1)( y-1)d*+*

2、ydy=010.表达齐次函数的定义11试给出一阶方程yf(*,y)或p(*,y)d*+ q(*,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。12求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何.13求解以下方程14求解以下方程1*+2yd*dy=0 (2) =+15. =16(*+y)d*2*ydy=017. =181920272837384445495056576263686971728182878892939495979810010110510611311412221未知函数u的导数最高阶为2，u,u,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。（2） 为y最高阶导数为1，而y为二次，故

3、它是一阶非线性常微分方程。（3） 果y是未知函数，它是一阶线性方程；如果将*看着未知函数，它是一阶非线性方程。3. 提示：所满足的方程为y2 y+y=04直接代入方程，并计算Jacobi行列式。5.方程变形为dy=2*d*=d(*),故y= *+C6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为一个积分。7 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。8 yf(*,y)主

4、要特征是f(*,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有*,另一因式仅含y，而方程p(*,y)d*+q(*,y)dy=0是可别离变量方程的主要特征，就像f(*,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。9（1） 积分得*=-cos*+c（2） 将方程变形为*ydy=(y-1)d*或，当*y0,y1时积分得y+ln+=c (3)方程变形为d*,当y-1,sin*0时积分得y=Csin*-1(4)方程变形为e*p(y)dy=e*p(2*)d*,积分得e*p(y) e*p(2*)C(5)当y1时，求得通积分ln=*+c(6)方程化为*yd*=(1- y)(1+*)d*或d*=dy,积分得*

5、arctg*ln+y=C(7)当*(y-1)0时，方程变形得d*+=0两边积分并化简得y1e*p(-*)10.二元函数f(*,y)满足f(r*,ry)=rf(*,y),r.0,则称f(*,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。11如果f(*,y)是0次齐次函数，则yf(*,y)称为齐次方程。如果p(*,y)和q(*,y)同为m次齐次函数，则pd*+qdy=0为齐次方程。如果q0则 f(*,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(*,y)为0次齐次函数故yf(*,y)为齐次方程。12 求解齐次方程经常用变换y=z*.用函数乘积导数的公式得=*z13这是齐次方程。令y=z*, =*z,将方程

6、化为z+*=,并即*别离变量得积分得ln|n|+ln(z+2)-ln|z|=ln|C|,或C用z=y*代入得原来的变量。*yCy.注意y=0方程的解。14（1） 当*0时，方程化为=12令y=u*,则原方程化为*=1+u,当1+u0时,可别离变量得u+1=c*:;通解为y=c*+*（2） 作变换y=u*,则原方程化为2udu=于是u=ln|*|+C,代回原变量，得通积分：y*ln|*|+C15. 这是齐次方程。令y=z*原方程化为du=两边积分得ln|z|=ln|c*|用z=代入得y=e*p()y=0也是原方程的解。16.变形为=+，令y=u*得=积分得-ln|1-u|=ln|*|-c,代原变量得通积分*- y=c*17. 方程右边分子，分母两条直线交点为* , y=(-2,1)作变换u=*+2,v=y-1,原方程化为，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得dz=,积分得C原方程通积分为y=*+c(*+y+1)+31819202728373844454950565762636869717281828788929394959798100101105106113114122. z.