计算机图形学3.ppt
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1、计算机图形学Computer Graphics,第三章.几何造型,Geometric Modeling,3.1 几何模型的概念,1.模型:表示对象的数据的组合及数据间的关系,由数据和程序过程混合组 成,并按一定的数据结构存储在数据库中。2.几何模型:描述对象的形状、大小、位置等几何和拓扑信息的组合。3.几何造型:通过点、线、面和立体等几何元素的定义、几何变换、集合运算构建实际存在或想象中的形体模型,是确定物体形状和其它几何特征方法的总称。它包括三个方面:1)表示(Representation):对实际存在的形体进行数学描述。2)设计(Design):创建一个新的形体,调整变量满足既定目标。3)
2、图形表示(Rendering):直观形象的表示出所建模型的图形。,3.2 表示形体的坐标系,世界坐标系(WCS:World Coordinate System)用户坐标系(UCS:User Coordinate System)观察坐标系(VCS:Viewing Coordinate System)规格化的设备坐标系(NDCS:Normalized Device Coordinate System)设备坐标系(DCS:Device Coordinate System),坐标变换,3.3 几何元素的定义,1)点,几何造型中的最基本元素。自由曲线、曲面及其它几何形体均可用有序点集表示。用计算机存储、
3、处理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。,三维直角坐标系中的点用x,y,z或x(t),y(t),z(t)表示,齐次坐标用n+1维表示,即x,y,z,h)或x,y,h。,二维用x,y或x(t),y(t)表示。,点的表示:,2)边,两个邻面(正则形体)或多个邻面(非正则形体)的交线。,直线边由其端点(起点和终点)定界;,曲线边由一系列型值点或控制点表示,也可用显式、隐式方程表示。,2)边,3.3 几何元素的定义,3)面,形体上一个有限、非零的区域,由一个外环和若干个内环界定其范围。面有方向性,一般用其外法矢方向作为该面的正向。,3.3 几何元素的定义,4)环,环是有序、有向边组成的面的封
4、闭边界。有内外之分,外环确定面的最大外边界,其边按逆时针方向排序。内环确定面中孔或凸台的边界,其边按顺时针方向排序。,3.3 几何元素的定义,5)体,由封闭表面围成的空间,也是三维欧式空间中非空、有界的封闭子集,其边界是有限面的并集。,非正则形体,正则形体,3.3 几何元素的定义,6)体素,可以用有限个尺寸参数定位和定形的体。常有三种定义形式:,(1)从实际形体中选择出来的一组单元实体,如长方体、圆柱体、球体等。,(2)由参数定义的一条(或一组)截面轮廓线沿一条(或一组)空间参数曲线作扫描运动而产生的形体。,3.3 几何元素的定义,形体(Object),外壳(Sell),面(Face),环(L
5、oop),边(Edge),点(Vertex),v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,e1,e2,e3,e10,e11,e12,.,Cube,f1,f2,f3,f4,f5,f6,e4,在计算机中定义几何形体将几何元素按六个层次结构表示。,3.4 定义形体的层次结构,3.5.形体的三种模型,1线框模型 wire frame model2表面模型 surface model3实体模型 solid model,1)曲面模型和实体模型均能以线框、消隐、小平面着色、平滑明暗和仿真等类型中的任何一种方式显示。2)线框模型则只能以线框类型方式显示。3)不同的三维模型在需要的时候可以转化。,关于三维模
6、型与模型的显示类型,三维模型从模型本身的内部数据来描述形体,是形体的本质属性。,模型的显示类型形体的外在表现形式。,实体模型 曲面模型,曲面模型 线框模型,*转化过程不能逆转。曲面模型不能转化为实体模型,因为它所包含的信息比实体模型少。线框模型也不能转化为曲面模型,因为它包含的信息比曲面模型少。,3.6 常用的几何造型方法,线框模型、表面模型和实体模型是一种广义的概念。从用户角度看,形体表示以特征表示和构造的实体几何表示(CSG)较为方便;从计算机对形体的存储管理和操作运算角度看,以边界表示(BRep)最为实用。为了适合某些特定的应用要求,形体还有一些辅助表示方式,如单元分解表示和扫描表示。比
7、较常用的造型方法:,1.边界表示法(Boundary Representation Scheme),通过描述形体的边界来表示一个形体,将形体的边界分成有限个“面”(faces)或“片”(patches),并使每个“面”或“片”由一组边和顶点来确定边界。,2.扫描表示法(Sweep),扫描表示法是将一个面域沿某一轨迹移动,以形成特定的几何形体,它是生成形体(或零件)的基本方法。,3.构造实体几何法(CSG)Constructive Solid Geometry,构造实体几何法将简单的形体经过正则集合运算构成复杂形体。一个复杂形体的CSG表示可以看成是一颗有序的二叉树。树的根结点:整个复杂形体,终
8、端结点(叶结点):体素、形体 运动的变换参数。非终端结点(中间结点):正则集合运算,或形体的几何变换。,3)通过对简单实体进行交(INTERSECT)、差(SUBTRACT)、并(UNION)等布尔运算和切割(SLICE),生成复杂三维实体。,1.三维实体造型的基本方法,1)对简单三维实体可直接创建,如长方体、圆柱、圆球、圆锥等。,2)用户先创建二维封闭区域(REGION),再通过拉伸(EXTRUDE)和旋转(REVOLVE)等操作生成三维实体。,3.7 三维实体造型案例,熟练掌握三维实体造型的基本方法及用户坐标系(UCS)等命令是构造三维实体模型的关键,,2.坐标系(UCS),a)WCS坐标
9、(二维空间),c)UCS坐标 绕x轴旋转90,1)在绘制二维图形时,用户只在XOY平面上绘制,Z值为0。X、Y箭头表示当前坐标系统的X轴、Y轴的正方向,Z轴的正向则遵守右手定则。,3.7 三维实体造型案例,a),b),c),要在空间的其他平面上绘制图形时,设计者要自己设立用户坐标系。UCS命令用于在3D空间建立用户坐标系,允许设计者自己设置新原点和在三维空间内旋转实体的XY参考平面。,3.7 三维实体造型案例,AutoCAD的3D 命令沿常见几何体(长方体、圆锥体、球体、圆环体、楔体和棱锥体)的外表面创建三维多边形网格。用 3D 命令构造多边形网格对象时,最后得到的对象表面可以隐藏、着色和渲染
10、。,3.常见几何形体3D造型,4.将二维图形拉伸为实体,在AutoCAD中,使用Draw(绘图)/Solids(实体)/Extrude(拉伸)命令,可以将2D对象沿z轴或某个方向拉伸成实体。拉伸对象可以是任何2D封闭多段线(3顶点数500)、圆、椭圆、封闭样条曲线和面域。,1)沿Z轴方向拉伸对象,默认情况下,可以沿Z轴方向拉伸对象。指定拉伸的高度和倾斜角度。高度值和角度值可为正或负。拉伸的绝对值不大于90度,默认值为0度。如果倾斜角度或拉伸高度较大,将无法进行拉伸。,2)通过指定路径拉伸对象,1)拉伸路径可以是开放的,也可以是封闭的,并且路径不能与被拉伸对象共面。如果路径中包含曲线,则该曲线应
11、不带尖角。,2)如果路径是开放的,则路径的起点应与断面在同一个平面内。,3)如果路径是一条样条曲线,则样条的一个端点应与拉伸对象所在平面垂直。,4)如果路径中包含相连但不相切的段,则在连接点处,拉伸会沿段的角平分面斜接此连接点。,5)如果沿路径拉伸多个对象,则Extrude(拉伸)命令会确保它们最后终止于同一平面。,5.将二维图形旋转成实体,在AutoCAD中,还可以使用Draw(绘图)/Solids(实体)/Revolve(旋转)命令,将2D对象绕某一轴旋转生成实体。用于旋转的2D对象可以是封闭多段线、多边形、圆、椭圆、封闭样条曲线、圆环以及封闭区域。包含在块中的对象、有交叉或自干涉的多段线
12、不能被旋转,并且每次只能旋转一个对象。,6.布尔运算,在AutoCAD中,用户可以对三维基本实体进行并集、差集、交集、干涉4种布尔运算来创建复杂实体。,求并运算:用实体或面域之和产生一个实体。工具条:Union,求差运算:用实体或面域之差产生一个实体。工具条:Subtract,求交运算:用实体或面域的相交部分产生一个实体。工具条:Intersect,选择Modify(修改)/Solids Editing(实体编辑)/Union(并集)命令,可以组合多个实体生成一个新实体。,6.布尔运算,选择Modify/Solids Editing/Subtract(差集)命令,可以从一些实体中去掉另一些实体
13、,从而得到一个新的实体。,6.布尔运算,应用实例一:,建立如图所示机件的三维模型,绘制矩形,绘制和陈列复制圆,拉伸图形,移动并旋转坐标系,对实体求并集和差集,绘制圆柱体,绘制圆柱体,绘制长方体,剖切圆柱体,绘制圆柱体,绘制长方体,对实体求差集,消隐,未消隐,3.2.6 常用的几何造型方法,线框模型、表面模型和实体模型是一种广义的概念,并不反映形体在计算机内部,或对最终用户而言所用的具体表示方式。从用户角度看,形体表示以特征表示和构造实体几何表示CSG较为方便;从计算机对形体的存储管理和操作运算角度看,以边界表示B-rep最为实用;根据形体的形成特点还有一些方便实用的表示方法:单元分解表示法;扫
14、描表示法;旋转表示法;网格表示法;,1.基本体素表示法,基本体素表示法用一组参数来定义一簇形状类似但大小不同的物体。这种方法通过对已有的形体作线性变换来产生形体,是最直接的方法。适用于表示工业上已定型的标准件.,2.空间位置枚举法,空间位置枚举法将空间分割成均匀的立方体网格,每个立方体大小相等,方向相同,互不重叠,可用其中心坐标或某个角坐标来确定。根据实体所占据网格的位置来定义实体的形状和大小,相应的数据结构为三维数组,每一数组元素对应一空间位置,若此位置为实体所占据,则数组元素值相应地为1,否则为零。,3.单元分解法,单元分解法克服了空间位置枚举法冗余度大的缺点,它允许将实体表示成一些形状相
15、同但大小不同的基本体积单元的组合,这些体积单元不一定是立方体,也不一定固定在某些确定的空间位置上,例如,可将物体内部的相邻区域合并成较大的立方体以节省存贮量。任意两个基本体积单元要么完全分离,要么沿一条线或一个小面精确地在一个角点相连.,4.扫描表示法,扫描表示法是根据二维或三维形体沿某一曲线(通常为直线或圆弧)推移时的外轮廓的轨迹来定义形体。扫描表示法易于理解和执行,特别适用于生成工业上常用的柱面体和旋转体,它在实体造型系统中常用作简单的造型输入手段。扫描表示法需要两个分量:一个是被扫描的形体,称之为基体;另一个是形体运动的路径。基体可以是曲线、表面、立体;路径可以由解析表达式来定义。,5.
16、构造实体几何法(Constructive Solid Geometry),构造实体几何法采用基本体素的并、交、差组合来表示实体,简称CSG法.通常用正则集合运算(构造正则形体的集合运算)来实现这种组合,其中可配合执行有关的几何变换。形体的CSG表示可看成是一棵有序的二又树,其终端结点或是体素,或是刚体运动的变换参数。非终端结点或是正则的集合运算,或是刚体的几何变换,这种运算或变换只对其紧接着的子结点(子形体)起作用。CSG树可定义为:,CSG树:=体素叶子CSG树正则集合运算结点CSG树CSG树刚体运动结点刚体运动变量,6.边界表示法 Boundary Representation,形体的边界
17、表示就是用面、环、边、点来定义形体的位置和形状。边界表示详细记录了构成形体的所有几何元素的几何信息及其相互连接关系拓扑信息,以便直接存取构成形体的各个面、面的边界以及各个顶点的定义参数,有利于以面、边、点为基础的各种几何运算和操作。直接建立边界模型是很繁琐的,在实践中常常采用CSG方法建立实体模型,显示时再转化为边界模型。,表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的,使得绘制B-Rep表示形体的速度较快,而且比较容易确定几何元素间的连接关系;对形体的B-Rep表示可有多种操作和运算。,数据结构复杂;需要大量的存储空间,维护内部数据结构的程序比较复杂;修改形体的操作比较难以实现;B-Rep表示并
18、不一定对应一个有效形体,即需要有专门的程序来保证B-ReP表示形体的有效性、正则性等。,边界表示法,B-Rep表示就需要对定义形休的面、环、边、点及其属性进行存取、直接查找、间接查找和逆向查找等操作。,边界表示法造型过程中,经常有下列操作,需要有一个较好的数据结构来支持。从一个点查找与该点相连的所有边;从一条边查找到该边的邻面及其邻接边;从一个面开始查找其上的外环和内环等。,7.八叉树表示法,八叉树表示法是四叉树表示法在三维空间的推广,也可以看成是空间位置枚举法和单元分解法的一种改进,提高和简化了物体之间的并、交、叉运算的手段,加快了物体真实感的显示速度和有限元网格剖分的速度。,在空间中定义一
19、个能够包含所表示形体的立方体,立方体的三条棱边分别与x,y,z轴平行,边长为2n。,若立方体内空间完全由所表示的形体所占据,则形体可用这个立方体予以表示,否则将立方体等分为八个小块,每块仍为一个小立方体,其边长为原立方体边长的1/2。将这八个小立方体依序编号为0,1,2,7.,若某一小立方体的体内空间被所表示的形体全部占据,则将此立方体标识为“FULL”;若它与所表示形体无交,则该立方体被标识为“EMPTY”;否则将它标识“PARTIAL”,并再等分成八个小块,如此分割下去。形体在计算机内可表示为一棵八叉树,为了描述八叉树的结点,给每个结点定义了如下的10个存储域:,其中:1是描述该结点性质的
20、域,也叫结点标志域,可以为FULL、EMPTY或PARTIAL;2是指向父节点的指针,若为根节点时,该域为0;310分别是指向八个子节点的指针,若为终端节点时,这些域的状态为空(EMPTY)。,8.混合造型法,为了扩大造型系统的覆盖域,常需要在不同的表示形式之间进行转换,CSG方法表示可以转化为R-rep表示和单元分解表示模型,边界模型能转化为分解模型。但以上转化过程不能逆转,即分解模型不能转化为其他模型,边界模型不能转化为CSG模型。,混合表示是指在CSG和R-rep双表示形式的基础上再扩充单元分解表示(如二维形体的四叉树表示、三维形体的八叉树表示)、扫描表示等。,近年来大型的CAD系统都采
21、用混合表示方法。在混合造型系统中,模型首先以CSG方法构造和存储,在显示时同时生成边界描述模型,在计算物理特性时则可能计算单元分解模型供临时使用。,CSG与B-Rep的混合模型表示法 用CSG作为高层次抽象的数据模型用B-Rep作为低层次的具体的表示形式。CSGG树的叶子结点除了存放传统的体素的参数定义,还存放该体素的B-Rep表示。CSG树的中间结点表示它的各子树的运算结果。用这样的混合模型对用户来说十分直观明了,可以直接支持基于特征的参数化造型功能,而对于形体加工分析所需要的边界、交线、表面显式表示等,又能够由低层的B-Rep直接提供。,9.特征表示法,特征表示是从应用层来定义形体,可以较
22、好的表达设计者的意图,为制造和检验产品提供技术依据和管理信息。从功能上可分为形状、精度、材料和技术特征。,1)形状特征:体素、孔、槽、键、凸台等。,2)精度特征:尺寸公差、形位公差、表面粗造度等。,3)材料特征:材料种类、硬度、热处理方法等。,4)技术特征:加工、安装、检验的技术要求。,形状特征单元是一个有形的几何实休,是一组可加工表面的集合,其BNF范式可定义为:,形状特征,形状持征单元:=体素I形状特征单元 集合运算 形状持征单元 I 体素集合运算体素I体素 集合运算 形状持征单元I形状特征单元集合运算 形状持征过度单元;体素:=长方体I圆柱体I球体I圆锥体I棱锥体I棱柱体I棱台体I圆环体
23、I楔形体I圆角体I;集合运算:=并I交I差I反;,形状持征过渡单元:=外圆角I内圆角I倒角。,(1)扫描特征,扫描特征是生成形体(或零件)的基本方法。其原理就是数学上的点动成线、线动成面、面动成体。空间的有界平面沿着一定的路径运动将生成实体特征。这是所有的三维造型系统中最重要的造型方法。利用扫描特征可以很容易地生成体素,如圆柱、环、球等。,截面沿其法向直线运动生成实体的造型方法。直线扫描的过程类似于用模具挤出具有各种各样截面的型材,线切割加工也能产生类似的形状,因而它是最基本、最常用的特征之一。,直线扫描(Extrude),回转扫描(Revolve),一个截面绕着草绘面内的一个中心线回转所形成
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