数竞平面几何四点共圆讲义教师版.doc
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1、-平面几何四点共圆冲刺讲义_班_号_一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识:1.欧拉线:的垂心,重心,外心三点共线.此线称为欧拉线,且有关系:2.九点圆定理:三角形的三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点,共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆,或称欧拉圆.的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点九点圆的半径是的外接圆半径的.3.三角形心与旁心的性质:的心为,而边外的旁心分别为;分别是三条角平分线,交三角形外接圆于,交于,则:三角形过同一顶点的、外角平分线互相垂直;,;角平分线定理;“鸡爪定理.二、例题分析例1.是的外接圆的直径,过作圆的切线交于,连接并延长分
2、别交、于、,求证:.证明:过作的平行线分别交、于、,则.取中点,连接、.,四点共圆.,而由,有.,四点共圆.,而,.而是的中点,是的中点,.例2.等腰梯形中,分别是,的心,是直线上的一点,的外接圆交的延长线于.证明:证明:,故共圆,则,因此,而,所以,由此,例3.在中,心为,切圆在,边上的切点分别为,设是关于点的对称点,是关于点的对称点.求证:四点共圆.证明:设直线交的外接圆于点,易知是的中点,记的中点为,则设点在直线上的射影为,由于则半周长,于是,又所以,且相似比为,熟知:。又,所以,即是的中点进而,所以都在以为圆心的同一个圆周上Z例4.设A、B为圆上两点,*为在A和B处切线的交点,在圆上选
3、取两点C、D使得C、D、*依次位于同一直线上,且CABD,再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点,H为G*的中垂线与BD的交点证明:*、F、G、H四点共圆证明:设O为圆心,AB*O = M*OA*AM,O*M = *A2 = *C*DO、M、C、D四点共圆*MO = OCD = ODC = OMCCMG = GMD在CM上选取一点E使M*DE,则MD = ME在G*上取点*,使GFD = DF*,在*F上取W使CFGW由得CG*D = *CGD由上面两式得= ,故* = *GFD = *FD又= 1和*PB = CDF 1H和B在C*的同一侧设H为直线BF与GF*外接圆的交点,则H*G
4、= HFG = HF* = HG*HG = H*,H = H*、F、G、H四点共圆,得证注:上述证法比拟麻烦,此题实质如下:易知为调和点列,又,可得为的平分线,设外接圆交于点,由“鸡爪定理知,从而在的中垂线上,此题得证.例5.ABC中,E、F分别为AB、AC中点,CM、BN为高,EF交MN于P,O、H分别为三角形的外心与垂心求证:APOH证明:由BMC = BNC = 90知B、C、N、M四点共圆AMAB = ANAC又AE = AB, AF = AC,AMAE = ANAF,即E、F、N、M共圆注意到由AMH = ANH = AEO = AFO = 90知AH、AO分别为AMN、AEF外接圆
5、的直径过AH中点H与AO中点O分别为AMN与AEF的外心,且易知OHOH只需证APOH,只需证A、O为AMN、AEF外接圆的等幂点即可注意到A为两圆公共点,而由E、F、N、M共圆知PMPN = PEPF故P也为等幂点综上所述,原命题成立例6.设ABC接于圆O,过A作切线PD,D在射线BC上,P在射线DA上,过P作圆O的割线PU,U在BD上,PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S证明:假设QR = ST,则PQ = UT证明:过O作OKPU = K,OFBU = F,连结AK延长交O于另一点E,过C作CHPU交AE于G,交AB于H,连GF、OP、OU、OA、OE由垂径定理知BF = FC, Q
6、K = KT,且QR = STRK = KS即K是RS的中点,且CHPU= = = = 1 HG = GC由中位线定理知FGBHFGE = BAE = BCEF、G、C、E共圆EFC = EGC = AGH = UKGEFO + OKE = OFC + CFE + OKE= 90 + (UKG + OKE)= 90 + 90 = 180K、O、F、E四点共圆又OKU + OFU = 290 = 180,K、O、F、U四点共圆结合知K、O、F、E、U五点共圆,KUO = KEO又PA为O切线OAPA,且OKPUKEO = KAOKPO = KUOOP = OU又OKPU,PK = UK而QK =
7、 TU,PQ = UT,得证例7.AB、AC为O切线,ADE为一条割线,M为DE中点,P为一动点,满足M、O、P三点共线,P为以P点为圆心、PD为半径的圆证明:C点在BMP外接圆与P的根轴上证明:作PRAC,其延长线交BC延长线于SOMA = OBA= OCA = 90,A、C、O、M、B五点共圆BMP = BMA + 90 = BCA + 90 = 180RSCB、M、P、S四点共圆C对BMP外接圆的幂为CBCS = 2CACR而C对P的幂为CP2PD2 = CP2(AP2ADAE) = CP2AP2 + AC2 = CR2 + RP2PR2AR2 + AC2 = CR2(CR + CA)2
8、 + CA2 = 2RCCAC点对P的幂等于C点到BMP外接圆的幂C点在上述两圆根轴上,得证例8.设H为ABC的垂心,D、E、F为ABC的外接圆上三点,使ADBECF,S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点求证:S、T、U、H四点共圆证明:先证引理:ABC外接圆O与它的九点圆V关于ABC的垂心H位似,且位似比为引理的证明:设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F,交O于D、E、F易知HD = HD, HE = HE, HF = HFDEF与DEF关于H位似,位似比为DEF外接圆与DEF外接圆关于H位似,即O与V关于H位似,位似比为回到原题:设BC、CA 、AB中
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