专题07 恒成立问题(讲义)(学生版).docx

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1、专题7恒成立问题【重难点知识点网络】：不等式恒成立问题常见处理方法：分离参数Q/(X)恒成立(QNf(x)可)或Q/(x)恒成立max(a()即可)；数形结合(y=()图象在y=gG)上方即可)：讨论最值/G)ominmin或/(x)O恒成立；讨论参数.max一、分离参数法1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量，另一个视为参数)，可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母

2、(一般为所求)视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由颦今字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：(xT)1等01-X(2)要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值)，若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值)，则也无法用参变分离法解决问题.(可参见”恒成立问题一一最值分析法“中的相关题目)4、参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设X为自变量，其范围设为。，/(X)为函

3、数；a为参数9Q)为其表达式)(1)若/(X)的值域为m,MDxO,g(Q)/(x)，则只需要g(a)G)=mminxO,g(x)f(x)，则只需要g(a)f(x),则只需要9Q)f()=Mmax*D,g(q)/(x),则只需要gQ)/(x)=Mmax3xD,g()/(x)，则只需要g(。)/(x),则只需要gQ)/(x)=mmin(2)若/(X)的值域为(m，M) xD,gG)(x),则只需要g()mxD,g(q)f(x),则只需要g(q)M(注意与()中对应情况进行对比)mxD,g()/(X)，则只需要g(Q)M(注意与.)中对应情况进行对比)3xD、g(q)/(x)，则只需要g(q)(x

4、)，则只需要gQ)mxk+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知(作为变量)，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理(1)选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元)，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.(2)将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.二、数形结合法1函数的不等关系与图象特征：(1)若qXWD,均有/(乂)g()o/G)的图象始终在g()的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不

5、等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象(往往随参数的不同取值而发生变化)5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：(1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图(2)所求的参数在图象中具备一定的几何含义(3)题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征不等式恒成立问题常见处理方法：分离参数2/(口恒成立(NfQ可)或/(D恒成立m

6、ax(D即可)；数形结合。=/(*)图象Q=(x)上方即可)；最值法：讨论最值minf(4或/(*)恒成立；讨论参数.最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一minmax种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法最值分析法.三、最值分析法1、最值法的特点：(1)构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参(2)参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响一一可能经历分类讨论2、理论基础：设/(*)的定义

7、域为D若PXWD，均有/(x)C(其中C为常数)，则Q)Cmax(2)若PXWD，均有/(x)C(其中C为常数)，则Cmin3、技巧与方法：(1)最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：观察函数/(D的零点是否便于猜出(注意边界点的值)缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围(便于单调性分析)观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间(即无论参数取何值，不等式均成立)，缩小自变量的取值范围(2)首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复

8、杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.(3)在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【重难点题型突破】：一、分离参数法例L(I)(2021全国高三其他模拟)已知函数/(X)=2(x5)ex，g(x)=x3-2x2-Q，若3f(x)g()对XR恒成立则Q的取值范围是()a.(24321B(3,+)I3)c.f4232)D(e,+),+I3)(2)已知/(x)=Q+2x)nx-1x2-2qx在(,+x)上是增函数,则实数Q的取值范围是()2.

9、1B.-lC(O4D,Li,。)【变式训练1T】、若函数/(x)=IogK+叫(血0且ml)在2,31上单调递增,则实数m的m(XJ取值范围为()a.(136B.36,+8)c.(1,160,/(X)QX+Q-1在R上恒成立，则实数Q的取值范围是()2【变式训练2-1、已知函数+似-31也在t,t+l上不单调，则实数t的取值范围是IOgxsin2x(Q0,Ql)gw*gXq0,Q【变式训练2-2、若不等式Q对J任心的(Z悒成立，则实数的取值范围是【变式训练2-3、已知函数/(x)=x2+mx-l,若对任意的xem,m+l1都有/(x)0成立，则实数小的取值范围是三、最值分析法例3(2021辽宁高三二模)已知函数/(x)=e*+2er,g(x)=xQ,若关于X的不等式/(x)-1g(x)+1在R上恒成立，求实数Q的取值范围是.【变式训练3-1、已知函数/(X)=,曲线Jz=f(x)在点Gj(I)处的切线方程为be-1X+(e-1)2y-e=0.其中e=2.71828为自然对数的底数(1)求Q力的值(2)如果当XWo时，/(2x)二恒成立，求实数A的取值范围e【变式训练3-2设函数/(X)=(XQ)21nx,QR(1)若=e为v=()的极值点，求实数Q(2)求实数Q的取值范围，使得对任意的X(0,3e,恒有/(x)4e2成立.注：e为自然对数的底数