第12章——动量矩定理.ppt

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1、第十二章 动量矩定理,质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程,第十二章 动量矩定理,实际问题,引言,引言,均质轮受外力作用而绕其质心O作定轴转动，它有角速度和角加速度。轮的动量：,外力的矢量和为：,这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动的运动。,引言,1 质点的动量矩,质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是矢量,12.1 质点和质点系的动量矩,质点动量 mv 在 oxy 平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数量,类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于

2、对 z 的动量矩。,在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/s。,方向：是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。,12.1 质点和质点系的动量矩,或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。,质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。,2 质点系的动量矩,质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的代数和。,质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。,12.1 质点和质点系的动量矩,3 平动刚体的动

3、量矩,刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。,对轴的：,对点的：,12.1 质点和质点系的动量矩,4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩,令 Jzmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量,于是得,即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。,12.1 质点和质点系的动量矩,例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。,解：,LO的转向沿逆时针方向。,12.1 质点和质点系的动量矩,平面运动刚体对垂直与其质量对称

4、平面内任一固定轴的动量矩为：,即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴的动量矩之和。,5 平面运动刚体的动量矩,12.1 质点和质点系的动量矩,刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即,对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式,由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是:kgm2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。,6 刚体对轴的转动惯量,

5、12.1 质点和质点系的动量矩,1.均质细杆,设均质细杆长 l，质量为m，取微段 dx,则,一、简单形状刚体的转动惯量,12.1 质点和质点系的动量矩,2.均质薄圆环对于中心轴的转动惯量,设细圆环的质量为m，半径为R。则,3.均质圆板对于中心轴的转动惯量,设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm2rdr(m/R2),于是圆板转动惯量为,12.1 质点和质点系的动量矩,在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为,如果已知回转半径，则物体的转动惯量为,回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等

6、于回转半径的长度。,对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。,二、回转半径(惯性半径),12.1 质点和质点系的动量矩,定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即,三、平行移轴定理,由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。,12.1 质点和质点系的动量矩,例2 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量为J1，求杆对z2 的转动惯量J2。,解：由，得,(2)(1)得,12.1 质点和质点系的动量矩,例3 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。,解：,12

7、.1 质点和质点系的动量矩,圆盘对过其质心轴的转动惯量：,杆对过点O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：,12.1 质点和质点系的动量矩,例4 求对轴O的转动惯量,一、质点的动量矩定理,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,12.2 动量矩定理,将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得,质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩,12.2 动量矩定理,设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)和内力Fi(i)。由质点的动量矩定理有,这样的方程共有n个，相加后得,由于内力总是成对出现，因此上式右端的第

8、二项,二、质点系的动量矩定理,12.2 动量矩定理,上式左端为,于是得,质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。,12.2 动量矩定理,在应用质点系的动量矩定理时，取投影式,质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。,12.2 动量矩定理,1.质点动量矩守恒定律,如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。,三、动量矩守恒定理,当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。,2.质点系动量矩守恒定律,若：则（常矢量）,若

9、：则（常量）,12.2 动量矩定理,例5 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物A，另一端有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。,解：以系统为研究对象，受力如图。,设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为,由于MO(F(e)0，且系统初始静止，所以LO0。,由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相同的高度。,12.2 动量矩定理,设刚体绕定轴 z 以角速度w 转动，则 Lz Jzw。,12.3 刚体绕

10、定轴转动的转动微分方程,刚体受到主动力和轴承约束反力，如不计摩擦，则由质点系动量矩定理得,或,刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。以上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程。应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。,12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,此形式与牛顿第二定律类似。,例6 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度a。,解：由刚体定轴转动的微分方程,于是得,由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。,12

11、.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,如图所示，O为固定点，C为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为,12.4*质点系相对于质心的动量矩定理,质点系相对于任意定点O的动量矩：,即：质点系对任一点O的动量矩等于质点系随质心平移时对O点的动量矩(rcmvC)与质点系相对于质心的动量矩LC 的矢量和。,质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。,质点系相对于质心的动量矩定理,12.4*质点系相对于质心的动量矩定理,例7 均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l3r，绕轴O转动的角速度为w、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b

12、)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w 逆 时针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w 顺 时针方向转动。,解：(a),12.4*质点系相对于质心的动量矩定理,(b),(c),12.4*质点系相对于质心的动量矩定理,由刚体平面运动理论知：平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，如图所示，则刚体的位置可有质心坐标和角确定。刚体的运动可分解为随同质心的平动和相对质心的转动两部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为,JC为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。,12.5*刚体的平面运动微分方程,设作用在刚体上的外力可向质心所在平面简化为一平面力系，由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得,上式也可写成,12.5*刚体的平面运动微分方程,以上两式称为刚体平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。即,12.5*刚体的平面运动微分方程,THEEND,谢 谢！,