第3章概率与概率分布.ppt
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1、2023/11/2,1,第三章 概率与概率分布,本章是推断统计的基础,主要内容,基础概率,概率的数学性质,概率分布、期望值与变异数,2023/11/2,2,参数估计和假设检验,推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断,这是以概率论为基础的。,随机原则,总体,样本,总体参数,统计量,推断估计,参数估计,检验,假设检验,抽样分布,2023/11/2,3,第一节 基础概率,概率论起源于17世纪,当时在人口统计、人寿保险等工作中,要整理和研究大量的随机数据资料,这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。参赌者就想:如果同时掷两颗骰子,则点数之和为9 和点数之和为10,哪种情况出现的可能性较
2、大?例如17世纪中叶,贵族德梅尔发现:将一枚骰子连掷四次,出现一个6 点的机会比较多,而同时将两枚掷24次,出现一次双6 的机会却很少。,2023/11/2,4,概率论的创始人是法国的帕斯卡(16231662)和费尔马(16011665),他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时,发表了骰子赌博理论一书。棣莫弗(16671754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年,法国的拉普拉斯(17491827)发表了概率分析论,该书奠定了古典概率理论的基础,并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后,法国的泊松(17811840)提出了泊松分布,德国的高
3、斯(17771855)提出了最小平方法。,2023/11/2,5,随机现象和随机事件,随机现象具有一定条件呈现多种可能结果的特性。,人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件。,概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象,是指事先不能精确预言其结果的现象,如即将出生的婴儿是男还是女?一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点,那就是在给定的条件下,观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性,但内中也有一定的规律性。例如,事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别,但大量观察,我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大,都是0.5,这就是概率。,202
4、3/11/2,6,在统计学中,我们把类似掷一枚硬币的行为(或对某一随机现象进行观察)称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件:它可以在相同条件下重复进行;试验的所有结果事先已知;每次试验只出现这些可能结果中的一个,但不能预先断定出现哪个结果。,1.样本点2.样本空间 例 掷一颗骰子,试列出它的基本事件和样本空间。,随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件(或称样本点),所有样本点的全体称作样本空间(Sample space),记作,2023/11/2,7,简单事件:仅含样本空间中一个样本点的事件。,复合事件:含样本空间中一个样本点以上的的事件。,必然事件:从样本空间来看,该事件事件是由其全
5、部基本事件所组成,记作S。,随机事件,不可能事件:从样本空间来看,不含任何基本事件,记作。,极端的随机事件,2023/11/2,8,例 对掷一颗骰子的试验,我们研究如下事件:A为“点数是3”;B为“出现奇数点”;C为“出现点数不超过6”;D为“点数是7”。解 因为1,2,3,4,5,6,所以 A3,为简单事件;B1,3,5,为复合事件;C1,2,3,4,5,6,为必然事件;D7,为不可能事件。,2023/11/2,9,2.事件之间的关系(1)事件和(Or conjunction)事件A与事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A与B的事件和,记作(2)事件积(As-well-as conju
6、nction)事件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B的事件积,记作,2023/11/2,10,(3)事件的包含与相等事件A发生必然导致事件B发生,则称为B包含A记作 如果 则(4)互斥事件事件A和事件B不能同时发生,则称B和A是互斥事件,或互不相容事件,记作,2023/11/2,11,(5)对立事件事件A与事件B是互斥事件,且在一次试验中必有其一发生,称A与B为对立事件(逆事件),记作(6)相互独立事件事件A的发生与事件B是否发生毫无关系,称A与B为相互独立事件,记作,2023/11/2,12,两之 随间 机的 事关 件系,2023/11/2,13,3.先验概率 在统计学中,有两种常见
7、的确定概率的方法:古典法和频率法。,由普拉斯1814年提出。以想象总体为对象,利用模型本身所具有的对称性来事先求得概率,故被称为先验概率。,条件:(1)在一样本空间中,各样本点出现的机会均等;(2)该样本空间只有有限(n)个样本点。,用古典法求出的概率,2023/11/2,14,例 掷两枚均匀的硬币,求“两枚都朝上”的概率;求“一枚朝上,一枚朝下”的概率。,这样对于含有m个样本点的事件A,其出现的概率为,用古典法求算概率,在应用上有两个缺点:它只适用于有限样本点的情况;它假设机会均等,但这些条件实际上往往不能得到满足。,2023/11/2,15,4.经验概率 求算概率的另一途径是运用频率法。设
8、想有一个与某试验相联系的事件A,把这个试验一次又一次地做下去,每次都记录事件A是否发生了。假如做了 n 次试验,而记录到事件A发生了 m 次(即成功 m 次),则频数与试验次数的比值,称作次试验中事件A发生的频率 显然,频率具有双重性质:随机性和规律性.当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定,这个极限值就是用频率法所定义的概率,即 频率稳定到概率这个事实,给了“机会大小”即概率一个浅显而说得通的解释,这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的统计学派也就被称为频率学派。,2023/11/2,16,比如:法国统计学家蒲丰(Buffon)把铜板抛了4040次,正面的次数是2048,比例是0
9、.5069。1900年,英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次,正面的次数是12012,比例是0.5005南非数学家柯屈瑞在监狱时,把硬币抛了10000次,正面的次数是5067,比例是0.5067。再如:保险公司会利用概率进行人寿保险经营,比如研究表明2024岁的男性中明年死亡的概率是0.0015,同龄的女性是0.0005,保险公司对男性的保费就多收一些。,2023/11/2,17,2.加法规则 如果事件A和事件B互斥,那么 如果A和B是任何事件(不一定互斥),加法规则更普通地表示为如下形式,第二节 概率的数学性质,1.非负性,特别对必然事件和不可能事件有,2023/11/2,18,例从一副
10、普通扑克牌中抽一张牌,求抽到一张红桃或者方块的概率。例 在一副52张扑克牌中,求单独抽取一次抽到一张红桃或爱司的概率。,2023/11/2,19,加法规则可推广到对两个以上的事件,若事件A,B,CK都互斥,那么有 P(A或B或C或K)P(A)+P(B)+P(C)+P(K),例 根据上海市职业代际流动的统计,向下流动的概率是0.07,静止不动的概率是0.6,求向上流动的概率是多少?例 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响,某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30,母亲具有大学文化程度的占20,而双方都具有文化程度的占有10,问从学生中任抽一名,父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少
11、?,2023/11/2,20,3.乘法规则 式中符号 和 代表条件概率。应理解为,“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是,A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之,B已经发生时A发生的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。理解统计独立的概念,对于灵活运用概率的乘法规则很重要。现在用条件概率来加以表达,统计独立是指 若A和B在统计上相互独立(无关),这时乘法规则可以简化为,2023/11/2,21,例假定有下列3000个社区的数据,如果随机地从这个总体中抽取一个社区,得到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率是多少?例假定数据变动如下,随机地从这个总体中抽取一个社区,得到一个中等的
12、而且犯罪率低的社区的概率又是多少?,2023/11/2,22,例 根据统计结果,男婴出生的概率是22/43,女婴出生的概率是21/43,某单位有两名孕妇,问两名孕妇都生男婴的概率是多少?都生女婴的概率是多少?其中一男一女的概率是多少?例 某居民楼共20户,其中核心家庭为2户,问访问两户都是核心家庭的概率是多少?问访问第二户才是核心家庭的概率是多少?,2023/11/2,23,例 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响,某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30,母亲具有大学文化程度的占20,而双方都具有文化程度的占有10,问从学生中任抽一名,父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少?,
13、2023/11/2,24,在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所述,所谓回置抽样,就是抽取的单位登记后又被放回总体中去,然后再进行下一次抽取。使用回置抽样法,先后两次抽取是彼此独立的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还,总体保持不变,前一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样,就是不再把抽取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了,必须使用条件概率的概念。,用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次,计算得到两张爱司的概率。,用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次,计算得到两张爱司的概率。,2023/11/2,25,4.排列和样本点的计数 要正确解决概率问题,往往光考虑乘法规则还不
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