总体均值的假设检验.doc

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1、-总体均值的假设检验一、正态总体均值的检验设为总体的一个容量为n的样本1方差，的检验u检验法当时，假设检验问题：选择检验统计量，当成立时，给定显著性水平，由标准正态分布分位点的定义,有，故拒绝域，这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u检验法有时我们只关心总体的均值是否增大或减小比方，经过工艺改革后，产品的质量如材料的强度比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值是小于等于原来的均值，还是大于，即检验假设可以证明，在显著性水平下，上述假设检验问题和检验假设有一样的拒绝域，因此，遇到形如的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论类似地，形如的检验问题，可归结为检验假设这都是单边

2、检验问题给定显著性水平，求得的临界值点是上分位点或上分位点例1某厂生产的某种钢索的断裂强度X服从，其中(kg/cm2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值较以往正常生产的大20(kg/cm2)，设总体方差不变，问在下，能否认为这批钢索质量有显著提高？解依题意，检验假设，由于，选择检验统计量因为中的全部都比中的要小，从直观上看，当成立时，的取值不应比大很多，假设偏差过大，那么拒绝而承受因为的拒绝域为，故在显著性水平下原假设的拒绝域为此题中，计算的值因此在显著性水平下不能拒绝，即认为这批钢索质量没有显著提高2方差未知，的检验t检验法检验假设因为未知，而样本方差是总体方差的无偏估

3、计量，用代替选择检验统计量，当成立时，给定显著性水平，由t分布分位点的定义，有，故拒绝域，这种利用服从t分布的检验统计量的检验方法称为t检验法例2某切割机工作正常时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm今在某段时间随机地抽取15段进展测量，其结果如下(cm)：10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.210.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7问此段时间该机工作是否正常()？假设金属棒长度服从正态分布解依题意，检验假设，由于未知，应选择检验统计量在下，给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域由条件可得故计算统计量的值因为，所以

4、承受，认为切割机工作正常例3 设木材的小头直径，cm为合格，今抽出12根测得小头直径的样本均值为cm，样本方差为cm2，问该批木材是否合格()？解依题意，检验假设，选择检验统计量在假设下，给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域，也是假设的拒绝域由于，计算统计量的值因为，故拒绝，认为该批木材是不合格的二、正态总体方差的检验检验法设为来自总体的一个样本，检验假设1均值因为，那么选取检验统计量当成立时，给定显著性水平，由分布表分位点的定义，有，故得拒绝域2均值未知因为是总体均值的无偏估计量，用代替选择检验统计量当成立时，给定显著性水平，由分布表分位点的定义，有故得拒绝域类似地，在和未知时，可

5、以求出检验假设和的拒绝域例如，在未知时，检验假设的拒绝域为上述检验所用的检验统计量均服从分布，称这种检验方法为检验法例4某无线电厂生产的一种高频管，其中一指标服从正态分布，今从一批产品中抽取8只管子，测得指标数据：68 43 70 65 55 56 60 72(1) 总体均值时，检验(取)；(2) 总体均值未知时，检验(取)解此题是在显著性水平下，检验假设，这里(1) 时临界值，而检验统计量的值，由于，故承受(2) 未知时临界值，而，检验统计量的值，由于，故承受8.3 两个正态总体参数的假设检验设为总体的一个样本，为总体的一个样本和分别是两个样本的样本均值，和是相应的两个样本方差设这两个样本相

6、互独立一、两个正态总体均值的检验考虑检验假设1方差与u检验法选取当成立时，检验统计量给定显著性水平，由标准正态分布表分位点的定义,有，故拒绝域例1 设从甲乙两场所生产的钢丝总体X，Y中各取50束作拉力强度试验，得，请问两厂钢丝的抗拉强度是否有显著差异()？解此题是在显著性水平下，检验假设，这里选取检验统计量给定显著性水平，查标准正态分布表，得临界值，故拒绝域由于，计算检验统计量的值由于，故拒绝，认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差异2方差与未知，但t检验法选取这里当成立时，检验统计量给定显著性水平，由t分布表分位点的定义，有，故拒绝域例2 某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量一样的烟叶标本测其

7、尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：25 28 23 26 29 22乙种香烟：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平下，判断两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？解检验假设，这里，选取检验统计量给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域计算统计量的值由于，故承受，认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异二、两个正态总体方差的检验F检验法考虑检验假设1均值与因为，选取当成立时，检验统计量给定显著性水平，由F分布分位点的定义，有，故得拒绝域2均值与未知因为，选取当成立时，检验统计量给定显著性水平，由F分布分位点的定义，有，故得拒绝域例3某烟厂生产

8、两种香烟，独立地随机抽取样本容量一样的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：25 28 23 26 29 22乙种香烟：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平下，判断两种香烟的尼古丁含量的方差是否相等解考虑检验假设由于两个正态总体的均值都未知，选取检验统计量给定显著性水平，查F分布表，得两个临界值：，故得拒绝域计算统计量的值由于，故承受，认为两种香烟的尼古丁含量的方差也无显著差异8.4 非正态总体参数的大样本检验本节讨论一般总体参数的检验设总体的均值为，方差为，为总体的一个样本由中心极限定理可知，当样本容量n足够大时，近似地服从

9、标准正态分布因此，我们可以用正态分布去近似如果对均值进展检验，方差未知时，可以用样本方差代替；如果对方差进展检验，均值未知时，可以用样本均值代替下面举两个例子例1设某段高速公路上汽车限速为104.6km/h，现检验85辆汽车的样本，测出的平均车速为106.7km/h，总体标准差为 km/h，但不知总体是否服从正态分布在显著性水平下，试检验高速公路上的汽车是否比限制速度104.6km/h显著地快？解依题意，检验假设，由于，n=85足够大，选择检验统计量近似地服从其拒绝域，其中计算的值，由于，因此承受，没有理由认为高速公路上的汽车比限制速度104.6km/h显著地快例2为比拟甲乙两种小麦植株的高度

10、(单位：cm)，分别抽得甲、乙小麦各100穗，在一样条件下进展高度测定，算得甲乙小麦样本均值和样本方差分别为，问这两种小麦的株高有无显著差异()？解依题意，检验假设，选取，这里两个方差用样本方差代替当成立时，检验统计量近似地服从给定显著性水平，查附表3，得临界值，得拒绝域计算的值，由于，因此拒绝，认为这两种小麦的株高有显著差异当总体服从(0-1)分布时，由于只有一个参数p，总体均值p和方差均只与p有关，这时对参数p进展假设检验时，检验统计量可以直接用样本和参数p表示出来例3某厂有一批产品须经检验前方可出厂按规定二级品率不得超过10%，从中随机抽取100件产品进展检查，发现有二级品14件，问这批

11、产品是否可以出厂()？解这里n=100，检验假设，选取检验统计量，U近似地服从由显著性水平，可以得到拒绝域，其中，计算的值，由于，因此承受，认为这批产品二级品率没有超过10%，可以出厂8.5 分布的拟合检验前几节的检验都是参数的检验实际问题中，有时需要对分布作出假设，进展检验本节只介绍一种分布的检验方法皮尔逊检验法，它只适合于大样本的情形，一般要求样本容量设总体X的分布函数为，为一个的分布函数，为总体的一个样本，我们来检验关于总体分布的假设一、根本原理检验法的根本思想是：将随机试验的所有可能结果的全体分成k个两两互不相容的事件，在n次试验中，将发生的次数叫做发生的频数，如果为真，那么由大数定律

12、，在n次试验中(n足够大)，()出现的实际频率与理论频率(可由分布函数算出)不应相差很大基于这种想法，皮尔逊构造了统计量或，其中是由计算出来的理论频率，是中未知参数估计出后的分布函数，并证明了如下定理：定理1假设n足够大，当成立时，统计量总是近似地服从自由度为的分布，其中r是的分布函数中未知参数的个数直观上看，值表示实际观测结果与理论期望结果的相对差异的总和，当它的取值大于临界值时，应拒绝二、检验步骤如果为不带有未知参数的分布，皮尔逊检验法的具体步骤如下：1将总体X的值域划分成k个不交的区间()，使得每个区间包含的理论频数满足，否那么将区间适当调整；2在成立时，计算各理论频率即概率的值：，这里

13、与为区间的端点，即；3数出中含有样本值的个数，即的频数，并计算统计量的值；4由分布，对于给定的显著性水平，找出临界值；5判断：假设，那么拒绝，否那么可承受如果总体X是离散型的，那么假设相当于假设总体X的概率分布，如果总体X是连续型的，那么假设相当于，这里为总体的概率密度例1至1984年底，市开办有奖储蓄以来，13期兑奖中诸数码的频数汇总如表8.1：表8.1数码i0 1 2 3 4 5 6 7 8 9总数频数fi21 28 37 36 31 45 30 37 33 52350试检验器械或操作方法是否有问题()解设抽取的数码为X，它可能的取值为09，如果检验器械或操作方法没有问题，那么09出现是等

14、可能的，即检验假设，这里依题意知k=10，令，n=350，那么理论频数给定显著性水平，查分布表，得临界值由于19.67516.9，故拒绝，即认为器械或操作方法有问题如果为带有未知参数的分布，未知参数为，这时用这r个未知参数的极大似然估计量来代替中的参数，得到分布函数，然后建立统计量，这里是由计算出来的理论频率，再用以上检验步骤进展检验，但此时检验统计量近似服从分布(这里kr+1)例2某高校对100名新生的身高(厘米)做了检查，把测得的100个数据按由大到小的顺序排列，一样的数合并得表8.2：表8.2身高人数153 156 157 159 160 161 162 163 164 1 3 2 1

15、4 6 7 6 10身高人数165 166 167 168 169 170 171 172 173 8 7 5 7 5 6 3 4 7 身高人数174 176 178 180 181 3 2 1 1 1 试问，在显著性水平下是否可以认为学生身高X服从正态分布？解这里n=100，我们来检验假设，这里为正态分布的概率密度，设其分布函数为，与为未知参数先求与的极大似然估计值，：，设服从正态分布的随机变量为Y，分布函数为按照分组要求，每个小区间的理论频数不应小于5，因此我们将数据分成了7个组，使得每组的实际频数不小于5，各计算结果如下表8.3所示分组(-, 158.5(158.5，161.5(161.

16、5，164.5(164.5，167.5(167.5，170.5(170.5，173.5 (173.5，+)6112320181480.06940.11200.18370.22200.19720.12700.08876.9411.2018.3722.2019.7212.708.87-0.94-0.204.63-2.20-1.721.30-0.870.12730.00361.16700.21800.15000.13310.08531001.00001001.8843表8.3中第3列的计算如下：，例如，给定显著性水平，查分布表，得临界值由于1.88439.488，故承受，即认为学生身高服从正态分布. z.