第6讲正弦量及其表示.ppt

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1、1,电工电子技术,2,一阶电路的暂态网络,回顾,完全响应=零状态响应+零输入响应,一阶电路在恒定激励作用下，其响应必为：f(t)=f 稳态+f 暂态,f(t)=f()+f(0+)f()e(-t/),f(0+)、f()、一阶电路的三要素,条件：1.一阶线性电路 2.恒定激励,3,1)对于简单的一阶电路，R0=R;,(3)时间常数 的计算,对于一阶RC电路,注意：,对于一阶RL电路,4,2)对于复杂的一阶电路：,R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。,如何求得R0呢？,5,R0的计算类似于应用戴维南定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看

2、进去的等效电阻，如图所示。,(同一电路中各物理量的 是一样的),6,4.应用时注意的问题,1）三要素法仅适用于一阶（RC、RL）电路；,2）必须是在换路以后的网络中去求；,3）R和C应分别看成无源纯电阻或电容网络的等效电阻或电容。,7,历届考题,计算题,回顾,一、电路如下图所示，在换路前已处于稳态。当将开关从1的位置合到2的位置后，试求iL和i。,8,历届考题,计算题,回顾,二、在题图所示电路中，U=30V，R1=R3=10k，R2=20k，C=10F。t0时开关S在“1”位置，电路已处于稳定状态。当t=0时，将开关S由“1”换到“2”。试求：uc 和i随时间变化关系。,9,电路如图所示，图（

3、a）中的开关S定时接通和，即当开关S处于位置时，RC串联电路处于短路状态，如果电容原已充电，则电容处于放电状态，达到稳态时，uC=0。当t=0时，将开关合到位置，电路与电压源接通，则电容开始充电，而当t=t1时，又将开关与断开而与接通。这一过程相当于按图（b）所示变化规律的激励作用于如图（c）所示电路。试求u R及uC的变化规律，并画出波形图。,例,脉冲信号的激励：分段分析法：,10,u1为分段常量信号，可以看成各常量在不同的时间段作用的信号，即,解：,对于分段常量信号作用的电路，可以分成若干常量在不同的时间段作用的电路，而各段间看作换路。对一阶电路可用三要素法按时间分段求解。,11,设t0时

4、电路为稳态，t=0时刻换路求在0tt1时间段的uC uR。,（1）,（0tt1）,求三要素,初始值,稳态值,时间常数,12,此时，初始值应由前时段的表达式时确定，即把t=tp代入,t=t1时电路又换路，求在tt1时间段的uC和uR,（2）,（tt1）,初始值,稳态值,时间常数,此题告诉我们，在分析某一时刻T电路又换路时，相应的t要换成（t-T），其中T为第二次换路的时刻。,13,（3）,画uC与uR的波形,显然电路响应uC与uR的波形不仅与时间常数有关，而且还与输入的矩形波特持续时间tp有关。下面画出了tp两种情况下输出电压uR与uC的波形。,tp,tp,当tp时,uCu1,uRu1,当tp时

5、,14,交流电的概念,如果电流或电压每经过一定时间（T）就重复变化一次，则此种电流、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。记做：u(t)=u(t+T),第3章 正弦交流电路,15,如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦（或余弦）规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦（或余弦）的，这样的电路称为正弦交流电路。,正弦交流电的优越性：便于传输:利用变压器可方便升压降压；有利于电器设备的运行:正弦量求导和 积分还是正弦量，变化平稳。,正弦交流电路,因此，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。,16,3.1 正弦量及其表示,1.正弦量,2.波形描述术语,3.1.1

6、 正弦量三要素,随时间按正弦和余弦规律变化的电压、电流和电势统称为正弦量。,幅值、角频率、初相角称为正弦量的三要素。,17,3.频率与周期,周期T：正弦量变化一次所需的时间（s）,角频率：正弦量1秒钟转过的电角度,（rad/s）,频率f：正弦量1秒钟变化的次数,（Hz）,正弦电路中所有物理量的角频率相同。,18,4.相位与相位差,相位：,初相位：表示正弦量在 t=0时的相位。,反映正弦量变化进程的电角度。,19,如：,若,电压超前电流,两同频率的正弦量之间的初相位之差。,相位差：,20,电流超前电压,电压与电流同相,电流超前电压,电压与电流反相,21,不同频率的正弦量比较无意义。,两同频率的正

7、弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。,注意:,22,3.1.2正弦量的有效值及应用,1.周期量的有效值定义,与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。,则有,交流,直流,23,2.有效值的实用计算及应用,设i=Imsin(t+)则,由三角衡等式得,同理：,注意：交流电压、电流表测量数据为有效值,交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值,24,3.1.3 正弦量的相量表示法,正弦量的表示法：,已知：,25,在前面介绍了用三角函数和波形表达正弦量，但这种表示其计算非常烦琐和麻烦。,用相量表示正弦量，在正弦稳态计算中，可以避免三角的烦琐演算和解微分方程的麻烦，即把求解微分方程的问题转化为求

8、解代数方程。,相量（phasor）为什么能表示正弦量，则要从复数谈起。,26,1.相量的数学基础,（1）复数（复矢量）的表示形式,代数式 I=a+jb,j虚数单位（数学中的文字符号为i）,a=ReI，Re 取实算子；,b=ImI，Im 取虚算子。,指数式 I=Iej,矢量图,I称复数I的模；称辐角。,27,（2）旋转因子,ej90=cos90+jsin90,ej9090的旋转因子。,（3）复数的计算,四则运算：,加、减运算相量用代数式表示,乘、除演算相量用指数式表示,两复数相等的条件：,对代数式：实部、虚部分别相等。,对指数式：模相等，辐角相同。,j=1j,其几何意义为,ejt,以为角速度的旋

9、转因子。,=,0,+j,28,2.正弦量的相量表示,（1）指数与三角的关系（欧拉公式）,ej=cos+jsin,e-j=cos-jsin,ej（t+）=cos(t+)+jsin(t+),在该式两边同乘以Um得,Umej（t+）=Umcos(t+)+jUmsin(t+),Umsin(t+),Um sin(t+)=ImUm ej（t+）,29,u=Um sin(t+),若:有向线段长度=,则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。,有向线段与横轴夹角=初相位,u0,Um ej（t+）,30,3.相量符号 包含幅度与相位信息。,1.描述正弦量的有向线段称为相量(phaso

10、r)。若其 幅度用最大值表示，则用符号：,有效值,最大值,（2）正弦量的相量表示,2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：,31,解:(1)相量式,(2)相量图,例:将 u1、u2 用相量表示,32,33,相量是表示正弦量的复数，正弦量是时间的函数，二者之间并不相等,注意:,？,只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。,只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。,34,相量的书写方式,模用最大值表示，则用符号：,相量的两种表示形式,相量图:把相量表示在复平面的图形,实际应用中，模多采用有效值，符号：,可不画坐标轴,如：已知,35,例 若已知 i1=I1 msin(t+1)=10

11、0sin(t+45)A，i2=I2 msin(t+2)=60 sin(t 30)A，求 i=i1+i2。,解,正弦电量(时间函数),所求正弦量,变换,相量(复数),相量结果,反变换,相量运算(复数运算),于是得,正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把,36,（3）正弦量微分与积分的相量,同理可导出积分的相量,37,波形图,瞬时值,相量图,小结：正弦量的四种表示法,相量,38,32 电路约束的相量形式,元件约束（VCR）,结构约束（KCL、KVL）,相量形式,时域形式,电路约束,数 域,？,？,39,3.2.1 元件VCR的相量形式,（1）相量模型,要等式成立，只要,相应电路模型为,1.电阻元件

12、,将uR、iR 代入式u=Ri得,由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，uR、iR可表示为,40,（2）限流与移相特性,U=RI u=i,（3）波形图相量图,结果表明，电阻在交流电路中只有限流作用没有移相功能。,41,2.电容元件,（1）相量模型,=,=,由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，uc、ic可表示为,42,所以,要等式成立，只要,相应电路模型为,=,43,（2）限流与移相特性,U=XcI u=i-90,=,Xc具有与电阻相同的作用，即限流作用，但又不是电阻，故引用容抗来描述电容的限流特性，单位为。,Bc具有与电导相同的作用，即导流作用，但又不是电导，故引用容纳来描述电容的导流特性，单位为S。,

13、或,44,它表明电压滞后电流90，它揭示电容器件的移相特性。,（3）波形图及相量图,u-i=-90,所以电容C具有隔直通交的作用,容抗XC是频率的函数,45,（1）相量模型,3.电感元件,=,=,由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，uL、iL可表示为,46,所以,=,要等式成立，只要,相应电路模型为,47,（2）限流与移相特性,U=XLI,=,XL具有与电阻相同的作用，即限流作用，但又不是电阻，故引用感抗来描述电感的限流特性，单位为。,BL具有与电导相同的作用，即导流作用，但又不是电导，故引用感纳来描述电感的导流特性，单位为S。,或,u=i+90,48,它表明电压超前电流90，它揭示电感的器件的移

14、相特性。,（3）波形图相量图,u-i=90,电感L具有通直阻交的作用,感抗XL是频率的函数,49,单一参数电路中的基本关系,小 结,50,3.2.2 KCL、KVL的相量形式,可以证明 KCL、KVL的相量形式为,（无源回路）,（有源回路）,应用KVL、KCL的相量形式，有助于进行正弦稳态分析时，直接建立相量形式的电路方程。,51,电路约束的相量形式,52,3.3.1 复阻抗与复导纳的概念,33 复阻抗与复导纳,1.RLC串并连接及等效元件的特点,53,等效元件的特点,引入一个反映它们的综合特性的元件,54,2.复阻抗与复导纳的定义,Z、Y是描述RLC综合特性的参数，分别定义为,复阻抗,复导纳

15、,55,阻抗是一个复数，其一般形式为：,由上式 可见|Z|、R、X组成直角三角形,注意,复阻抗的辐角,表示 u、i 的相位差。,复阻抗的模，称为阻抗，表示 u、i 的大小关系。,阻 抗,阻抗三角形,阻抗角,Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。,56,导纳:阻抗的倒数,其一般形式为：,复导纳的模，简称导纳，单位为S,导 纳,导纳角,Y也是一个复数，不是相量，上面不能加点。,57,3.3.2 复阻抗与复导纳的计算,1.串联电路,（1）复阻抗计算,由KVL,则,总电压与总电流的相量关系式,58,（2）复导纳计算,对串联电路欲求复导纳，则先求复阻抗，再求其倒数，即,59,2并联电路,（1）复导纳计算,由KCL有,60,（2）复阻抗计算,对并联电路欲求复阻抗，则先求复导纳，再求其倒数。,61,正弦量的基本特征及相量表示法理解电路基本定律的相量形式及阻抗 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图。,学习要点小结,