第一章随机事件与概率.ppt

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1、概率论与数理统计,是的，正是这样！,我们将开始神奇之旅，感动上帝！,在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰。一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了一位数学家，数学家们运用概率论分析后认为：舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性。一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次）。编次越多，与敌人相遇的概率就越大。美国海军接

2、受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25降为1，大大减少了损失，保证了物资的及时供应,1名数学家10个师,概率论的历史,概率（Probability），亦称为赌博法，机遇论，猜测艺术等，它的思想可追溯自公元前220年以前的中国的一些文献.不过真正的历史却只有三百来年而已.如今，但凡要进行信息处理，决策制定，实验设计等等，只要涉及数据，必用概率统计的模型和方法.例如，在经济，管理，工程，技术，物理，化学，生物，环境，天文，地理，卫生，教育，语言，国防等领域有非常重要的应用.,这一天，法国一位贵族、职业

3、赌徒梅累（De Mere）向法国数学家、物理学家帕斯卡（Pascal）提出了一个十分有趣的“分赌注”问题,问题是这样的，一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注32个金币双方约定先胜三局者为胜,取得全部64个金币.赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了一局这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了请问：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢?,概率论的生日：1654年7月29日,赌友说，他要再碰上两次正面，或梅累要再碰上一次正面就算赢，所以他主张赌金应按2：1来分。即自己分64个金币的，梅累分64个金的。,梅累争辩说，不对，即使下一次赌友掷出了正面，他还可以得到，即32个金

4、币；再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，所以他应该分得64个金币的，赌友只能分得64个金币的。两人到底谁说得对呢?,帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把他难住了他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的四分之三，赌友应得64金币的四分之一。这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论,结果他们这样回答了梅累的问题；“先做一个树结构图，根据树结构图A胜的概率是34时，就把赌钱的34分给A，把剩下的14分给B就可以了”于是，概率的计算就

5、这样产生了,在他们三人提出的解法中,首先都涉及了数学期望(mathematical expectation)这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础.讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫做论赌博中的计算(1657年)，这就是概率论最早的一部著作 概率论现在已经成了数学的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用,古典概率时期,工具：排列组合,主要工作：,Pascal,Fermat,Huygens,Bernoulli James,De Moivre Abraham,Bernoulli Daniel,等等.,论赌博中的计算，1657，（De Ratiociniis in Ludo Aleae),

6、猜测的艺术,1713,Ars Conjectandi,详尽论述排列组合理论，提出了概率论在民间，道德，经济上的应用.,论赌博法,1711,机遇说,1722，Laplace以前关于概率论的最大贡献.,赌博法新论,1730,关于猜测的新问题的分析研究,1759，将概率论推广于人寿保险，健康统计上.,分析概率时期,工具：微积分等现代数学,主要工作：,De Moivre Abraham,Laplace,The Doctrine of Chances,1733,由二项式公式推出正态分布曲线,概率分析理论,1812,Thorie Analytique des Probabilits,标志进入分析概率时期的

7、伟大著作.,等等.,Kolmogorov(1903 1987),概率论的基本概念,1933,给出了概率论的公理化定义，标志概率论进入现代数学范畴.,一、随机现象,1.1 随机事件,第一章随机事件与概率,概率论研究的对象是什么？,现象,确定现象,随机现象,概率论研究什么问题？,RPWT,它的原意是指刮风、下雨、阴天、晴天 这些天气状况很难 预料，后来它被引 申为：世界上很多 事情具有偶然性，人们不能事先判定这些事情是否会发生。,降水概率90%,“天有不测风云”,人们果真对这类偶然事件完全无法把握、束手无策吗？,随着对事件发生的可能性的深入研究，人们发现许多偶然事件的发生也具有规律可循的。概率这个

8、重要的数字概念，正是在研究这些规律中产生的。人们用它描叙事件发生的可能性的大小。例如，天气预报说明天的降水概率为90%，就意味着明天有很大可能下雨（雪）。,降水概率90%,试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一事件的发生情况?,可能发生,也可能不发生,必然发生,必然不会发生,明天，地球还会转动,问题情境,在00C下，这些雪融化,实心铁块丢入水中,铁块浮起,煮熟的鸭子，跑了,水从高处流向低处,太阳从西边升起,在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.,“函数在间断点处不存在导数”等.,确定性现象的特征,条件完全决定结果.,研究的数学工具：代数，微积分，微分方程

9、等等.,在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.,这两人各买1张彩票，她们中奖了,实例1“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.,实例3“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,实例2“在相同条件下生产同一种零件，观察它们的尺寸”.,结果:“它们的尺寸总会有一点差异”.,实例4“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,其结果可能为:,正品、次品,实例5“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.,实例6“一只灯泡的

10、寿命”可长可短.,个别随机现象：原则上不能在相同条件下重 复出现（例6）.,随机现象的特征,条件不能完全决定结果.,随机现象的分类,大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现（例1-5）.,某些物理学家，说不定认为对投掷铜板，由给定投掷的速度、角度、地面的弹性、铜板的形状及重量等条件，可算出铜板落地后，会那一面朝上，因此这不是随机。至于六合彩的开奖，只要起始条件都能测出，则会开出那一号球，也能算出，因此这也不是随机。但你大约也知道所谓蝴蝶效应(butterfly effect)。测量极可能有误差，而有时一些微小的改变，影响却可能很大。因此我们宁可相信这些都是随机现象。,某些神学家，可能认为一切其

11、实都是按照神的旨意在进行，只是我们不知而已。说不定真是如此。但若无从了解神的旨意，对于未来，也只好视为随机。,随着科技进步，人们逐渐弄明白很多现象的来龙去脉。例如，我们知道女性一旦怀孕，婴儿性别便已确定。但对一大腹便便的妇女，好事者由于不知，仍可猜测其生男生女之机率。考试前夕，学生们虽认真准备，但还是绞尽脑汁猜题，各有其认为考出机率很大的题目。老师获知后，觉得好笑。实则试题早已印妥，而学生不知考题，且未体会老师的暗示及明示，所以仍可以大猜一通。另外，诸如门外有人敲门，你好奇是男是女？老师要你猜拿在背后的水果，是橘子或苹果？同学盖住落地的铜板，要你猜正面或反面朝上？这类明明已确定的事，本身其实并

12、不随机，只是对你而言，却有如“子非鱼”，当然可猜鱼快乐的机率。,2随机现象从表面上看，似乎杂乱无章,没有规律.但实践证明,如果同类的随机现象大量重复出现,它的总体就呈现出一定的规律性.,1随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.,这种规律性随着我们观察的次数的增多而愈加明显.这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性叫做统计规律性.概率论和数理统计就是研究这种统计规律性的数学学科.,二、随机现象的统计规律性,机遇在爱情与工作上扮演着极其重要的角色。我们在人生中其实不是按明确路线前进的汽车司机，而更像是弹珠游戏里到处碰运气的珠子。,必然性使人们愿意事先好好准备

13、。随机性使人们对未来，充满着盼望与戒慎恐惧。光有必然性，亳无变异，对未来缺乏盼望，人们将少了努力的动机。光有随机性，只靠运气，将令人失去积极认真的企图心。,以开放的心态面对生活中的岔道口，能看到别人错过的机会。即使事与愿违，也能很快摆脱失望，走向下一个幸运之地。他们更加快乐，更容易达成心愿。,三分天注定，五分靠打拼，两分靠运气。由于变异无可避免的存在，要了解变异，设法减少变异。虽世事多变，但万物有常，存在随机法则。看似没有规律，其实被大数法则规范。,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,随机试验,现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究.,1.可以

14、在相同的条件下重复地进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3.每次测试的结果事前不可预言.,定义：在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,随机试验简称为试验，记为 E.,特点：可重复性，可观察性，随机性.,实例“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”.,分析:,(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;,(2)试验的所有可能结果:,字面、花面;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.,同理可知下列试验都为随机试验,3

15、.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,4.考察某地区 10 月份的平均气温.,5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,三、样本空间,样本点：随机试验结果的出现是不确定的，但所有可能结果是明确的.随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，记为 样本空间：样本点的全体，记为,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.,例1 写出下列随机试验的样本空间.,1)观将一枚硬币连抛N次,观察正面出现的次数.,2)抛掷一枚骰子,观

16、察出现的点数.,从一批产品中,依次任选三件,记录 出现正品与次品的情况.,4)记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.,5)考察某地区 12月份的平均气温.,6)从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,2 同一试验,若试验目的不同,则对应的 样本空 间也不同.,如：对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H（Heads）、反面 T(Tails)出现的情况,则样本空间为,若观察出现正面的次数,则样本空间为,注 1 试验不同,对应的样本空间也不同.,3建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.,如：只包含两个样本点的样本空间,

17、它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.,所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.,四、随机事件（Event）,事件：随机试验中某些结果所构成的集合，这些结果具有某一可观察的特征.随机事件：在试验中，可能发生，亦可能不发生的事件.必然事件：必然发生的事件，记为不可能事件：一定不会发生的事件，记为基本事件：恰含一个样本点的事件.,Remark,一般可将必然事件，不可能事件视为随机事件的极端情形，并统一简称为事件.,2.事件A与B相等：记作A=B，表示A B并且B A.,解：1)

18、显然，B 发生必然导致A发生，所以 B A;.,2)又因为A发生必然导致B发生，所以 A B，由此得 A=B.,Example 口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返回地取球。A=“取到最后一个是白球”，B=“取到最后是白球段”。问 A 与 B 的关系？,A+B,AB,Property,8.有限个或可数个事件的并与交,9.完备事件组,七、随机事件的运算律,和的交换律：和的结合律：交的交换律：交的结合律：第一分配律：第二分配律：自反律：第一对偶律：第二对偶律：,符号集合论含义概率论含义,全集样本空间，必然事件,空集不可能事件,集合的元素样本点,单点集基本事件,A 一个集合一个事件,A

19、B A的元素在B中A发生必然导致B发生,A=B 集合A与B相等事件A与B相等,AB A与B的所有元素A与B至少有一个发生,AB A与B的共同元素A与B同时发生,A的补集A的对立事件,A-B 在A中而不在B中的元素A发生而B不发生,AB=A与B无公共元素A与B互不相容,Example 试用A、B、C 表示下列事件：,A 出现；仅 A 出现；恰有一个出现；至少有一个出现；至多有一个出现；都不出现；不都出现；至少有两个出现；,1.2随机事件的概率,概率的直观定义随机事件 发生的可能性大小的度量（数值），称为事件 发生的概率，记为,拉普拉斯有一个信念：偶然现象有稳定的统计规律性 一般人或许认为:生男生

20、女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1:1,可事实并非如此.1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace 17941827)在他的新作概率的哲学探讨一书中,记载了一下有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22:21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计17451784整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比是25:24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异!拉普拉斯对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定

21、有深刻的因素.于是,他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人“重男轻女”,有抛弃女婴的陋俗,育婴堂嬷嬷捡去后又上报一次，以至于歪曲了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22:21.,定义,一、概率及其频率解释,通常称与试验有关的所有事件的集合为事件域，记为 F.则 为 F 上关于 的函数.,二、从频率的性质看概率的性质,对任意的事件若 两两互不相容，有,频率的核心性质,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率 f 呈现出稳定性,实验设计。仿真产生数据。林觉民，在“与妻诀别书”中，写不尽对爱妻的不舍。

22、最后说“纸短情长，所未尽者尚有几万千，汝可以模拟得之。”,纸上谈兵,随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率的变化趋势有何规律?,仔细看一看,从上述数据可得,抛硬币次数 n 较小时,频率 f 的随机波动幅,(1)频率有随机波动性,即对于同样的 n,所得的f 不一定相同;,度较大,但随 n 的增大,频率 f 呈现出稳定性.,即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动,且逐渐稳定于 0.5.,掷骰子实验:把一个骰子抛掷多次，观察其出现的结果，并记录各结果出现的频数，然后计算各频率.,一枚硬币引发的故事,在掷硬币试验中，当 较小时，比值的波动较大，而当 逐渐增大时，该值波动亦逐渐稳定于0.

23、5.,若对一试验重复足够多次，我们可认为此试验的所有可能情形均已发生.那么，我们再做一次试验，只不过在重复曾经的试验而已，结果当然应该与那次被重复的试验的结果一致.于是，我们只要看看我们要考虑的事件与总试验次数的比值的稳定值，便可估计该事件发生的可能性大小.,当然，此稳定值并非概率的本质，不应作为概率的定义.但正如上面所说，由于它揭示了隐藏于随机现象中的内在规律性，用于估计事件发生的可能性大小却是合理的.,孩子们，明白了吗？,不明白？,好吧，理性点。,大数定律告诉我们，当 n 时，频率的极限是概率！,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动,

24、且随 n 越大摆动幅度越,小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).,优点：易于理解，生活中比比皆是,缺点：大量重复试验的局限性 只能得到近似值,作为频率的稳定值，很自然地有：对任意的事件若 两两互不相容，有,概率的核心性质,(2)显然成立;,Proof,(1)由于是必然事件,每次试验均发生,则其频率恒等于1,自然 p=1;,1 概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容。,Remark,2,与P(A)的区别,而 P(A)是一个确定的数!,随机试验有关;,是一个随机数,是变数,它与,3,当试验次数n很大时，有,4,概率统计定义的缺陷,(1),不便于理论研究.,

25、需要作大量的试验,才能观察出,的稳定值,即无法根据此定义计算某事件的概率.,(2),在数学上不够严谨.,毛泽东，满江红和郭沫若同志：一万年太久，只争朝夕。对于机率：不争一时而争千秋。观测次数够多后，机率的威力就显现。,机率是千秋的事,马克吐温(1907)：There are three kinds of lies:lies,damnedlies,and statistics.(有三种谎言:谎言,可恶的谎言,及统计)统计为何被当做谎言？关老师说：有数据说明，掷硬币时正面向上的概率为80%。关老师这么老实，肯定没有说谎。那么，谁说谎了哩？,Example in Practice（统计数字会撒谎，美

26、达莱尔哈夫）,使用多克斯牌牙膏将使蛀牙减少23%，结论出自一家信誉良好的“独立”实验室，并且还经过了注册会计师的证实。然而，如果你不是特别容易轻信他人或者盲目乐观，经验将告诉你：一种牙膏难以比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎样制造了上述结论？这里的主要把戏是不充分的样本统计角度的不充分，但对于多克斯公司来说已经足够了。只有当你读小字体的文字时才会发现：被测试的用户仅由12人组成。单凭这点，你便不得不佩服多克斯公司，而且它留给你一个可能知道全部情况的机会。有的广告商索性将类似的文字都略去，留给读者即便他是一个老练的统计专家一个猜想：这里面到底玩了什么把戏？,让规模不大的一组人连续记录六个月的蛀牙数

27、，接着使用多克斯牙膏。之后一定会发生以下的其中一种结果：蛀牙明显增多，蛀牙明显减少或者蛀牙数量无显著变化。如果是第一或者第三种结果，多克斯公司编档保存好这些数字，当然最好是藏在别人找不到的地方，然后重新实验。由于机遇的作用，迟早有一组被测试者将证明有很好的效果，并且这个结果足以好到作为标题甚至引发一场广告战。不过，不管实验者使用的是多克斯牙膏还是发酵粉，或者还是继续使用原来的品牌，上述结果都会发生。任何由于机遇产生的差异，在大样本的使用中都是微不足道的，不足以作为广告标题。,多克斯公司是怎样轻易地获得一个不存在漏洞并经得起检验的结论？,关老师患了重感冒，奄奄一息地来到医生面前。,听到医生的话，

28、你猜关老师有什么反应?,“你的病很重,在十个得这种病的人中只有一个能救活.”,当关老师被这个消息吓得够呛时,医生继续说：,“但你是幸运的。因为你找到了我,我已经看过九个病人了,他们都死于此病.”,OR,洗具,医生在检查完的时候摇摇头：,吓出一身冷汗，感冒好了,治疗10个病人，相当于做10次试验，每次试验的结果都是随机的，所以第10次治疗的结果也是随机的，关老师挂掉的概率依然是90%.恭喜关老师死里逃生！继续上课！,Heraclitus：Ever-newer waters flow on those who step into the same rivers.,赫拉克利特：人不能两次踏进同一条河

29、流,有的事件无法重复试验，称为一次性事件。如：关老师挂掉的可能性是90%,关老师肯定没有说谎，明天是否下雨，这个病人是否能治愈，新产品销路如何，火星上是否有生命，核弹爆炸的威力，核能电厂的意外，彗星撞地球,主观概率,主观概率定义：合理的信念的测度，是认识主体根据其所掌握的知识、信息和证据，而对某种情况出现可能性大小所做的数量判断。如：降水率，治愈率，洲际导弹命中率，明年国民经济增长率，,某君看上一女孩，惊为天人，觉得这是他今生的新娘。评估后信心满满，自认追上的机会有8成。旁人却都不看好，问他8成这一数字，是如何冒出来的？该君举证历历，一个又一个的迹象，显示那女孩对他很有好感。这个0.8的概率，

30、就是所谓主观概率。,大约少有女孩，会让你做实验，反复地追，然后数一数其中成功几次，来定下她会被你追上的机率。对这类无法重复观测的现象，在谈概率时，主观概率就常派上用场。,虽说“主观”，但仍要合理。例如，考试有及格与不及格。若认为会及格的机率为0.9，这没问题，人总要有点自信，但若又同时担心有0.8的机率会不及格，那就不行了。各种可能性发生机率相加要为1。即使是主观，可以独排众议，仍须自圆其说。不能说，既然是主观，便可以任意自定各事件之概率。因此不论是那一种对概率的解释，都自然地，或必须要满足一些共同的规则。,有个与曾子同名的人杀人，好心者告诉曾母“曾参杀人”。曾母说“吾子不杀人”，继续织布。过

31、一会儿，又有人来说“曾参杀人”。曾母仍继续织她的布，这么好的儿子怎可能杀人？但当第三人跑来说“曾参杀人”，曾母就害怕了，丢掉织布器具翻墙而逃。所谓“其母惧，投杼踰墙而走”。,主观概率对于不可重复进行的实验，在符合概率的公理化定义的三个基本条件下所定义的概率。,主观概率的确定或是依赖于经验所形成的个人信念，或是依赖于对历史信息的提炼，概括和应用。主观概率的确定虽然带有很大的个人成分，但并不是完全的臆测，并且主观概率在一定的条件下，还可使用贝叶斯公式加以修正。主观概率至少是频率方法及古典方法的一种补充有了主观概率，至少可以使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，且能使用概率统计方法解决相应的实际问题

32、。,主观概率的应用,主要在于决策问题。在数据分析方面，贝叶斯概率起着重要的作用。它在20世纪得到发扬光大，被称为数理统计学中的贝叶斯学派。与频率学派（基于频率的概率，不允许有主观概率的作用）间曾发生令人瞩目的争论(部分是主观概率合法性之争)。,主观概率适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。,批评：如果概率是人的主观信念的数量度量，那么概率论就很象心理学的一个分支，而对概率进行纯主观的解释最终将导致唯心论。,辩解：客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事件，决策人通过主观概率把自己的以数据、分析和经验为依据的判断表示为数量形式，就可以利用概率

33、的整套数学理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。,Example in Practice,1999年1月14日的科学时报对“神农架是否存在野人”问题的讨论做了报道。这当然是一个一次性事件，因为普天下并无第二个神农架。从报道上看，学者们的意见基本一致，即可能性很小。但仍有不同：有的学者认为完全不可能，即把“神农架存在野人”这个事件的概率判为0，另一位学者将其判为0.05，还有的学者只判断“很小”但未给出数值。这就是各学者对这事件发生所判的主观概率。,三、概率的公理化定义,1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫(1903-1987)提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了

34、迅速的发展.,(A.H.1903-1987),1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员.为20 世纪最有影响的苏联数学家.,苏联数学家,柯尔莫哥洛夫,设 为样本空间，F 为 上的事件域，称 F 上的实值函数 为 上的一个概率测度，若它满足：公理一：（规范性）公理二：对任意的事件（非负性）公理三：若两两互不相容，有（可列可加性）,其中，对任意给定的具体事件 称为事件 的概率.一个具有概率测度的样本空间 称为一个概率空间，记为F 简记为,证明,由公理 3 知,所以,四、概率测度的其他性质,不可能事件的概率为零,.最小性,注意事项,但反过来，如果 P

35、（A）=0，未必有 A=,例如：,随机在闭区间0,5取值，在某次试验中，取到的数字为2.我们知道，在这类试验中，刚好取到2的概率为0，但它却真实发生了，并非不可能事件.,设A1，A2，,An两两互不相容，则,证明,2.有限可加性,证明,由于与其对立事件互不相容，由有限可加性有,而,所以,3.逆事件的概率,若 A B，则 P(B A)=P(B)P(A),（）（）（）,4.差事件的概率,推论1(单调性),推论2(性质：有界性),推论3(减法公式),对任意两个随机事件、，有,.加法定理,又由减法公式，得,因此得,加法定理的推广,Proof使用数学归纳法证明.,一般加法公式,以下省略416字.,连续性

36、,8.下连续性 设 为上升的事件序列，即,则,Proof.设,9.上连续性 设 为下降的事件序列，即,则,则由可加性条件，,Proof.讨论，利用下连续性即可.,例：如果某种彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？为什么？,不一定.买1000张这种彩票的中奖概率约为1-0.99910000.632，即有63.2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.,解法1,例,解法2,Example,The Wall Street Journal,2004.4.10,公布了30家最大的股票和对冲基金的1年期收益率和5年期收益率，截止日期为2000.3.31.假定1年期收益率超过50，或5年期收益率超

37、过300称为高收益.有9项基金1年期收益率超过50，7项基金5年期收益率超过300，其中5项基金1年期收益率超过50且5年期收益率超过300.现在我们随机选择一个基金，问选到的基金1年期和5年期收益率均非高收益的概率是多少？,若随机试验 E 具有下列两个特征：,1)有限性,样本空间中，只有有限个样本点：,2)等可能性,则称E所描述的概率模型为古典概型.,古典概型随机试验,一、古典概型定义,1.3古典概型与几何概型,古典概型中事件概率的计算公式,A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点,则事件 A 出现的概率为:,设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成,例1 将骰子先后抛掷2次，计算：

38、（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？,问题1 设箱中有只白球和 只黑球,现从袋中,(1)无放回地摸球,基本事件总数为:,A 所包含基本事件的个数为,解,设 A=所取球恰好含a个白球,b个黑球,无放回地依次摸出a+b只球,求所取球恰好含a个,白球,b个黑球的概率(a,b)?,古典概型的问题一般可转化为摸球模型,有一个黑壶，一个白壶.黑壶中有5个红球，6个绿球；白壶中有3个红球，4个绿球.你可以先选择一个壶，然后从这个壶中随机抽取一球.假如你抽到红球的话，你将会获得奖励.你愿意选择哪个壶进行抽球哩？,选择黑壶的话，抽中红球的概

39、率是 5/11=0.455；选择白壶的话，抽中红球的概率是 3/7=0.429.应选择黑壶.,Example,再考虑另外的一个黑壶和一个白壶.这个黑壶中有6个红球，3个绿球；白壶中有9个红球，5个绿球.现在打算选择哪个壶来抽球哩？,选择黑壶的话，抽中红球的概率是 6/9=0.667；选择白壶的话，抽中红球的概率是 9/14=0.643.还是应该选择黑壶.,最后，我们把第二次试验中黑壶的球倒入第一次试验中的黑壶，把第二次试验中白壶的球倒入第一次试验中的白壶.同样地你可以先选择一个壶来抽取红球，你愿意选择哪个壶？,直观告诉我们，选择黑壶.我们还是算一算来验证吧.,黑壶中有11个红球，9个绿球，抽到

40、红球的概率是11/20=0.55.白壶中有12个红球，9个绿球，抽到红球的概率是12/21=0.571.,应当选择白壶，与我们的直觉完全相反.辛普森悖论（Simpsons paradox）.量与质是不等价的，无奈的是量比质来得容易量测，所以人们总是习惯用量来评定好坏.,念天地之悠悠，独怆然而涕下。如果我们在人生的抉择上选择了一条比较难走的路，就更有可能不被赏识。迎合普世价值，让我们成为全才，同时也陷入“怀才不遇”困境。独特的人生更精彩！,陈子昂，登幽州台歌：,（2）有放回地摸球,例2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本

41、事件总数为,摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,Example 3,请问：在 个人中，至少有一对生日相同的概率有多大？（假定一年365天）本问题可摸球化为：黑箱中有365个球，随机有放回地取 次，问必有重复取球的概率有多大？,世界杯正在举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必

42、争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,抽签不必争先恐后.,袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只,解法二 把小球编号，将k个人取球构造样本空间,解法一 把小球编号，将(a+b)个人取球构造样本空间，则样本点总数为(a+b)!；第k个人取到黑球，有a种，其余的顺序可以任意排列，因此,摸出来，求第k个人摸出的是黑球的概率.,抽签不必争先恐后.,Example1.16,解法三 把 a 只黑球看作是无区别的，把 b 只白球也看作没有区别的.,第一、二种解法考虑到了顺序，因此用排列来解决；第二种解法不注重顺序而用组合.对于同一个随机现象可以用不同的样本空间来描述，因此

43、同一个概率也有不同的求法.,二、几何概型,定义,若试验E具有下列特征：,1)无限性：,E的样本空间是某几何空间中的,2)等可能性：,每个样本点的出现是等可能的，,则称E所描述的概率模型为几何概型，并称,E为几何概型随机试验.,一个区域，其包含无穷多个样本,点，每个样本点由区域 内的点,的随机位置所确定.,即样本点落在内几何度量相同,的子区域是等可能的，,例如，考虑平面区域 其面积记为在 中等可能任意投点.“等可能”的确切含义是：点落于 中任意子区域 的概率与区域 的面积 成正比.,即：若仍以 表示“点落于 中”，则存在常数 使,再利用,有,注 1,对于随机试验E，以m(A)表示事件A的几何度量

44、，为样本空间.若 0 m()+,则对于任一事件A，其概率为,2,那末,两人会面的充要条件为,连.求甲、乙两人能会面的概率.,解,甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预,定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间 t,(t T)后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻,到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵,例1.18（会面问题）,故所求的概率为,若以 x,y 表示平面上点的坐标,则有,浦丰问题,相交的概率.,a,l,M,x,解,设M表示针落下后，针的中心，x 表示M与最近一平行线的距离，表示针与这平行线的夹角，则样本空间：,l/2,1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了

45、投针,试验问题.平面上画有等距离a(a0)的一些平行线，,向平面任意投一长为l(la)的针，试求针与平行线,针与一平行线相交,设 A=“针与一平行线相交”，则,0,x,a/2,A,蒲丰投针试验的应用及意义,根据频率的稳定性，当投针试验次数n很大时，,作为P(A)的近似值代入上式，那么,上述方法被称为 Monte Carlo 方法.由于现今可通过计算机模拟大量重复试验，此法如今应用广泛.,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),萨特，法国思想家、作家，存在主义哲学的大师：“Hell is other people”他人即地狱对“我”来说，其他的人就像一个贼，要将“我”的世界偷去，将我纳入他们

46、的轨道中，成为一个“在己存有”（being-in-itself），成为一个对象或东西。,1.4条件概率,What should I do?Should I be who you want me to be?Just do it!,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,1.条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B)P(A),P(A)=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)=1/3.,B中

47、共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A)=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,P(A)=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,条件概率的直观定义 某个事件发生的可能性

48、大小经常会受到另一相关事件发生与否的影响.若在事件 已发生的条件下，事件 发生的概率为 则称 为在已知 发生的条件下，发生的条件概率，记为,Example,考虑美国东部某大城市警察局男性与女性警官的升职情况.警察局有1200名警官，男性960人，女性240人.在过去两年中有324名警官得到提升，男性288人，女性36人.在浏览了升职记录后，一个由女性警官组成的委员会指出在升职过程中存在性别歧视.其依据是升职人数男性与女性比为288：36；而警察局官员否认歧视，认为男性升职多只是因为警官中男性本来就比女性多很多.经过计算，男性警官升职概率为0.30，女性警官升职概率为0.15.条件概率的使用本身

49、不能表明歧视的存在，但条件概率的数值则成为女警官们指控的有力证据！稍后，我们还可以利用独立性分析，断言升职过程中，升职与否绝对与性别有关！,1.在古典概型中，讨论时，样本空间已缩小为“包含 的所有事件”，故,2.同样，在几何概型中,若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1),定义1.3,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,Sample space,Reduced sample space given event B,条件概

50、率 P(A|B)的样本空间,条件概率的性质,譬如,2)从加入条件后改变了的情况去算,条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,300个乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB).,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产