第10届 希望杯 初二 第二试.docx

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1、ZA = ZB = 120, 则No等于(C. 60D. 67.56.如图2,A. 90四边形ABC。中，AB=BD=DA = AC,则四边形ABCO中，最大的内角的度数是(B. 120C. 135D. 150图3v试题一、选择题以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内.1 .下列五个多项式：c2b2-a?-；i9以2+27t2x273；x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c2d-2b；3n(w-)+6(n-m)；(5)(x-2)2+4x.其中在有理数范围内可进行因式分解的有()A.，B.，C.，D.，2 .关于X,y的方程y=i80的正整数数解有(

2、)A.1组B.2组C.3组D.4组3 .已知实数X满足条件xJLl,那么J(X+2)2+出不一3)3的值等于()A.2x-lB.-2x+lC.-5D.14 .已知4,b,C为正数，且b,若X=FI,y.Hj=H尸=,abcJab-JbcyJca则工与y的大小关系是()A.xyB.BC,E、尸分别是4?、CD的中点，AD.BC的延长线分别与所的延长线交于“，G则(A.ZAHEZBGEB. NAHE=NBGEC. ZAHEZBEGD. NA/E与NBG石的大小关系不确定8 .等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于()A.30oB.30。或150。C.120。或150

3、。D.30或120。或150。仁？9 .如图4,正方形ABc。中，AB=SfQ是CD的中点，设ND4Q=,在CD上取一点P,使NBAP=2,则CP的长度等于()IIA.1B.2C.3D.36图410 .三个整数,b,C的和是6的倍数，那么它们的立方和被6除，得到的余数是()A.0B.2C.3D.不确定的二、填空题(每小题6分，共60分)11 .在有理数范围内分解因式：(V-l)(x+3)(x+5)+12=12.已知x-y-z = 0,y-z = O,且 xyzO,14.若X2 +)? + 2 = 2+ y ,那么第 + y =.4w/1998x2+1999/-2000z2那么J71998x2-

4、1999+2000z215 .如图5,直角三角形ABC中，NACe=90。，/8=36。，。是AB的中点，交BC于连接8,则NCDE：NEcD=.16 .如图6,在线段AB上，在Ae的同侧作等边三角形AACM和ABCN,连接4V,8M若NM8N=38。，则N4VB=.17 .某个质数，当它分别加上6,18,12,14之后还是质数，那么这个质数是.18,有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是.19,数斗-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是.20.有若干个相同的球，已知总数大于50,在桌子上恰能摆成一个正方形方阵，从这些球中去掉2

5、1个球后，可以摆成一个等腰梯形阵，在这个等腰梯形阵中，每一行的球数都比下一行的球数少1,而每腰上的球数比正方形每边上的数少3,梯形较大的底上的球数是每腰上球数的2倍，那么球的总数是.三、解答题要求写出简要步骤21 .求正整数对(。，3，同时满足条件：(1) 0a42bf(2) 150(+Z?y所以y=18O,Iy=45,y=20,1y=5,共四组正整数解，选D.3. C【解析】由x0x+l所以(J-l)x-l.所以_/!丁_(忘+1)2,所以x-2,x+2 b所以 x-y0, xy ,选 A.5. C【解析】如图8,作等边ZVWO,连接0、OC.所以 AO=OB = AB = AE = BC.

6、又 NEAO = I200 - 60。= 60o, NCBo = 60。.所以ZsEAO和ACBO均为等边三角形.所以E、0、C三点共线， EC=IAB = ED = DC.所以ZE8是等边三角形.ZD=60.选C.6. D【解析】四边形ABa)中，AB=AD=BD.所以 NBAo = 60.ZABC+ZBCD+ZCDA = 360-60 = 300.在 ZXABC 中，AB = ACt 所以 NABC =/ACB.在 ZkACO 中，AC=AD,所以 NADC = NAa).所以 NBCD = /ACB - /ACD.= ZABC = ZADc.= 300o-ZBCD.所以2/8CQ = 3

7、00。，所以NBa) = I50.即最大内角是150。.选D.7. C【解析】如图9,连结AC,取AC的中点P连结尸石、PF. 在ZXACO中，F,夕分别是8, CA的中点.所以 PFAD、PF = -AD.2同理，ZXABC中，比:是中位线，所以尸EBC, PE = -BC.2因为ADBC,所以PFPE,所以/PEF PFE,因为 PE BG ,所以 NPEF =/BGE, 所以 NAHE NBGE.选 C.H图98. D【解析】如图10(a),等腰ZXABC中，8是腰AB上的高，若CO = ；AC,则NA = 30。.如图IOe),等腰AABC中，8 是腰AB上的高，若CD = gBC,则

8、NB = 30,ZA = 180o-230o = 120o.(c)如图Io(C),等腰C中，Q)是腰48上的高，若CO=g4C,则NDAC=30,Z4C=150.所以顶角等于30。或120。或1500.选D.9. B【解析】如图11,取BC中点E,自后作所_LA尸，尸为垂足，连接AE,PE.因为。，E分别为Z)C,BC的中点，所以AADQ且AABE.所以AE=AQ,NBAE=NDAQ=Ct.叉BAP=2a,所以NEAP=a.在RtZABE与RtZsAFE中，AE=AE,ZBAE=ZFAEf所以8Eg砧.所以EF=BE=EC,ZAEB=ZAEf.在Rt瓦和RIZEC尸中，EP=EP,EF=ECt

9、所以AEFPdECP,所以NFEP=NCEP,FP=PC.所以AE,EP分别是NBE尸和NEEC的平分线，所以AEEP,NAfP=90.所以/CEP=NBAE.所以RtMEPSRtBAE.S”CPBE1所以=.ECAB2所以Cp=LEC=L8C=2.选B.2410. A【解析】ai+b3+c3-3abc=(+方J，+c3-3ab(a+b)-3abc=(+力+c)(+b)?一+Z?)+c2J-3ab(a+b+c)=(+Z?+C)(Q2+从+c2-cb-bc-ac.所以/+Z+c3=(n+Z?+c)(a2+护c2-ah-he-acj3ahc.又,h,C为整数且+人+c是6的倍数，所以,b,c中至少

10、有一个为偶数，否则+Z?+C为奇数.所以3诋能被6整除.所以4+从+c能被6整除.选A.二、填空题11. (jc2+4x-3)(x2+4x+l)【解析】(-l)(x+3)(x+5)+12=(x+l)(x+3)(x-l)(x+5)+12+ 1215 + 12=(X2+4x+3)(x2+4x-5)=(x2+4Xy-2(x2+4x)-1=(x2+4x-3)(x2+4x+1.黑【解析】由m = o,得 y-z=O,x = 2zy = z所以原式二舞去鬻黔7991799313.4【解析】由题意知X2-2x+y2-y+=0,即(XT?)+(y_g)=0.所以(ip=。，H=113所以X=1,y=.所以F+

11、y*=1+5=耳.15. 1：2【解析】RtZA3C中，。为AB中点，所以DC=AD=DB.因为NB=36。，所以/88=36。，所以ZBDC=180o-236o=108o.义DELAB,所以Na)E=I8.所以Na)E：NE8=18：36=1：2.16. 82【解析】因为ZXACM与ABOV均为等边三角形.所以AAf=CM=AC,CN=BN=BC.在ZXACTV与AjWQ?中，AC=MCfCN=CB,所以A4CV0MCB.所以NANC=/MBC.由已知NN=38.所以NMBC=60。-38。=22。.所以N4VC=22,所以/ANB=/ANC+NCNB=82.17. 5【解析】这个质数是5.

12、整数中按被5除所得余数可分为五类，即封，5k+,5k+2t5A+3,5攵+4(为整数)，其中弘类型的数中，除质数是5外，其余均为合数.若质数M为%+1类型，则+14=5+l+14=5(+3),为合数.若质数M为5Z+2类型，则M+8=5k+2+8=5(2+2),为合数.若质数M为女+3型数，则M+12=5攵+3+12=5(攵+3),为合数.若质数M为%+4,型数，则M+6=5A+4+6=5（2）,为合数.综上所述，只有质数5分别加上6,8,12,14之后为11,13,17,19,它们均为质数，其他四类数不满足条件.18.3【解析】一个整数不是5的倍数，它的个位数字可能是1,2,3,4,6,7,

13、8,9,把它们4次方之后,研究他们的个位数字，分别是I4 = 1 .34=81 (个位数字为1).64=1296 (个位数字为6).84 =4096 (个位数字为6).24 = 16 ,（个位数字为6）44 =256 （个位数字为6）.74 = 2401 （个位数字为1）.94 =6561 （个位数字为1）.即它们的个位数字不是1就是6,并且6被5除也是余1.所以一个不是5的倍数的整数，它的4次方被5除一定余1.8这样的整数，它们的4次方的和被5除所得余数为3.19. 511,513,545【解析】2-l=(236+l)(236-7)=(236+l)(2,8+l)(2,8-l)=(2%+1)(

14、2,8+1)(29+1)(29-1).因为29+1=512+1=513,29-l=512-l=511所以511,513都能整除2-1.又2记+1=2记+2x29+1-2x29=(29+l+25)(29l-25)=545481.所以545也能整除产一1.20. 121【解析】设有/个球，则梯形腰上的球数为-3,梯形较大底的球数为2(-3),小底上的球数为2(n-3)-(z-3)l=w-2.则等腰梯形阵中球的总数是：2(/7-3)+(/?-2)(w-3)=H2-21,所以(38)6-3)=2-42,3-17+24=2-42,n2-17+66=0.所以(-11)(-5)=0.所以I=I1,电=6.当

15、=6时，2=3650,不合题意，舍去.所以=11,球的总数为1=121(个).三、解答题要求：写出简要步骤21.【解析】因为a-J五1,所以a-12b,2a-a+j2b.又(+)200,所以(2-l)3200,而200216=63,所以助-1v6,aO,ay2bt且是正整数，最小是1,所以。声1.若。=2,由2伤，知人只可能为1.此时，(2+y43=64150,与条件相违.若=3,由一l,知2vb3.所以b=2.JO3-221,满足条件(1).此时，(+y=(3+2)=3333222+33(2&丫+(22)=99702.设70近=m,/W2=9800.所以98?病99?,(992=9801).

16、所以150V197v(3+2jV198V200满足条件.22.【解析】即欲求的自然数对(a,。)为(3,2).如图12,连接SC、PB.(1)因为ABCD是等腰梯形.所以AO=BC.又AC、8。相交于O,所以AO=80,OC=OD.因为NACZ)=60.所以AOCD与404B均为等边三角形.因为S是QD的中点，所以Sej_00.在RtZXBSC中，。为BC的中点，SQ是斜边BC的中线,所以SQ=BC.同理BP_LAC.在RtZ3尸C中，PQ=BC.又S尸是z0u)的中位线，所以SP=Lad=Lbc.22所以SP=PQ=SQ.所以ASPQ为等边三角形.(2)因为AB=5,DC=3.1 313所以SB=-DO+0B=-+5=-.2 22CS是等边ADCO的高,所以CS=空.2在RtZ8SC中，BC=JBS2+CS217所以ASPQ的边长SQ=qBC=q.所以SASPQ42)16(3)设上底8=,下底A8=b(a/32b_j3,所以Szug=彳。-=-ab.因为基空SAAOD所以8x即 2a2-5ab+2h2 =0, 所以(2-b)(-勿=0 ,叉ba.所以2=6.所以州=.b2即CD：AB=1：2.