1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（解析版）.docx

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1、142用空间向量研究距离、夹角问题考点01：异面直线夹角的向量求法1 .如图四棱锥RABC。中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（）【答案】A1C.D.【分析】连接AC与3。交于点。，连接PO,以。点为原点，建立空间立角坐标系，分别求得向量A2和PC 的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.【详解】连接AC与8。交于点O,连接尸。， 由题意得，AClBD,且POl平面ABCD,以。点为原点，建立如图所示空间内角坐标系,设四棱锥P-ABCZ）各棱长均为2,则人O=BO = DO = JJ, PO =母,可得 a(,o,o),e 吟、号,c(

2、,o,o),p(o,o,应),-喈,PC = (-2,0,-2),设异面直线AE与PC所成角为6，l .l AE PC (-2)(-2)(-2)下则 cos = COS AE, PQ = =11 回同 qq,27o726故选：A.2 .如图所示，在正方体ABS-AMGR中，求异面直线A/与4G所成的角.【答案】异面直线A/与AC所成的角为90 .【分析】利用向量的分解和数量积运算，结合正方体中的线线关系，可证明A8 AC；=0 UUU UUU UUU【详解】A1B = AB-AA1 . AC, =AB+AAi+AD,于是A1B AC,= (A-AAt)(A +AA1+ADj = AB2-AA1

3、2+ AD-AA1) t对于正方体来说，AB2-AAi2 =0 ADJ.AB, 4O_L A4 ,故 AZ45 = 0,4 A1 =0 ,即(一私)=0,于是A&AC；=O,即A1B _LAC,故异面直线AB与AC所成的角为90考点02:已知线线角求其它量3 .如图，在正三棱柱A8CAgG中，AB = AAy=2.E,/分别是BC、AG的中点.设。是线段4G上的 (包帮羊个般点)动点，当直线8。与律所成角的余弦值为坐，则线段8。的长为.Bl【答案】22【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设。(U,2)(T1),利用空间向量法计算异面直线所成角的 余弦值，即可得到方程，解得，从而得解.【详解】

4、解：如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则 E(O,O,O),F8(0,-1,0),设 D(0,/, 2)(-1 rl),贝IJEb= ，表2)8。= (0/+ 1,2),设直线8。勺所所成角为。r+2+4所以S/二 EF BD 2 + 加,gp23z2 + 14r-37 = 0.IErlIBDl 5(r + l)2+44解得f = l或f = 琮（舍去），所以闸=Jo2+2+22= 2五,故答案为：2.4 .如图，在直三棱柱ABC ABG中，ZBAC = , AB = AC = AA,=,已知G与E分别为Aq和CG的中 点，0与F分别为线AC和AB上的动点（不包括端点），若Gz）_LEf、

5、则线段。尸长度的取值范围为（）故 E尸=,GD =tn-，因为Gz）_1砂,A.李1） B.坐.刍C. .2）D. I也,布 15455【答案】A【分析】以A为坐标原点建立空间角坐标系，设出。,尸的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并 建立OP关于参数的函数关系式，求其值域即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，5l_则3,OR,G，设点0坐标为(2,0,0),尸(0,几0), 0wl,0n= 80,OC _L平面?8。，所以/0PC就是PC与平面PBD所成的角，在ABCO中，易得0C = J,在APBO中，PB = 2，BD = PD = 2近,计算可得OP =旧，解法2:由证明可知

6、，AD_L平面。8Q,因为ADU平面ABCQ,则平面PBDL平面ABCD,通过计算可得NPOB =笥，建立以DA，Z)B为X轴，y轴的正方向，以过。与平面AAC。垂直的向量为在Z轴的正方向建立如图空间宜角坐标系, 显然Z轴再平面PBD中且垂直于BD,则 50,0,0), B(0,22,0), P(0,-衣病,C(G近,0),所以 PC =(应,2l#)，DP = (0,-,6), DB = (0,22,0),设平面PBD的法向量为 = (x,y,z),取,0,0),设直线PC与平面PBD所成角为6,则SinfC ,旦=旦 所以求直线PC与平面PB。所成角的正弦值为正. PC44考点04：已知线

7、面角求其它量7.己知平面。的法向量为 = (1,2,0),直线/的方向向量为L则下列选项中使得/_La的是()A. v = (2,-l,0)B. V = (2,1,0)C. V = (2,4,0)D. v = (-l,2,0)【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若/_La,则红线/的方向向量B垂直于平面所以G与平面。的法向量 = (1,2,0)平行，显然只有选项C中丫 = 2满足.故选：C8.如图，在直三棱柱 ABC-A4G 中，AB = CG=3, BC = 4, AC = 5, AE = AAAi ,。为 8C 的中点.（1）当4 =；时，求证：AO平面

8、8CE;（2）若J4也，CQ与平面8CE所成的角为/求Sine的取值范围. 44【答案】（1）证明见解析J返迈（）39，13【分析】（1）首先取BG中点。，连接0。，0E,。为BC的中点，易证四边形AQOE为平行四边形，从而得到AD/OE,再利用线面平行的判定即可.证明AO平面BCiE.（2）以B为原点，BeBA,84分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向吊法求解即可.【详解】（1）取BG中点。，连接。，OE,。为BC的中点，如图所示:B因为O。分别为BG和8C的中点,所以 O ；CG 且 OO = TCG， 又当4 =；时，E为AA的中点， 所以 AEgcG，且 AE = ；CG

9、，所以OOAE,且QD = AE,所以四边形AQQE为平行四边形，所以AOOE, 因为AO0平面BGE, OEU平面3CE,所以A 平面8。出.(2)因为AB=3, BC = 4, AC = 5,所以 AB? + 8C? = AC?,即 AB18C又因为三棱柱ABC-48为直三棱柱，所以以8为原点，BCBA.BB分别为x,y,z轴建M空间宜角坐标系，如图所示:Bc= (4,0,3), E = (0,3,32),设平面BC1E的一个法向量n = (x,y,z),nBC, =4x+3z = 0.、所以,令x=3,得万= (3,4l,-4).n BE = y + Az = 0又 OG=(2,0,3)

10、,所以Sine =怦9)= L / 6 ,= pZ)C1 13162+25又LWg所以SineJ噜,平，所以Sine的取值范围为噜，当.考点05:二面角的向量求法9 .在如图所示的圆柱QQ中，AB为圆。I的直径，C,。是AB的两个三等分点，EA, FC, GB都是圆柱GQ的母线eC Qj)求证：股平面Ae；(2)若BC = FC = 2,求二面角A-BF-C的余弦值大小.【详解】(1)连接OC,因为区4，Q都是圆柱的母线，所以AE/B,又AA为圆。I的直径，C,。是AB的两个三等分点，所以 C0A5,CO = gA5,所以四边形AoCol为平行四边形，所以A。 O0,又 AEl AD = A,

11、CFf,101F = F,AEAoU平面 AED, CEaFU平面。尸，所以平面AEO/平面QCr，因为FaU平面OC尸，所以r平面AOE；(2)连接AC,因为48为圆。1的直径，所以AC/8C,因为CF_L平面 ABC, C4,C8u平面 ABC,所以b_LC4,Bj.CB ,如图建系，因为C3 =。=2,所以=4, CA = JAB2-CB2 =23则 C(0,0,0), B(0,2,0), F(0,0,2), 4(2,0,0)，AB = (-23,2,0), AF(-23,0,2),设平面ABF的法向最为笳=(x,y,z)，AB - m = -2y3x+2y = 0,L -L,取 X =

12、 1,得 w = (1,0,6),Fn = -23x + 2z = 0平面BCF的一个法向最为 =(1,0,0), 所以二面角A-M-C的余弦值为也4L = J =也.fnn 717所以二面角A-B尸-C的大小为五.10 .在图 1 中，四边形 ABCO为梯形，ADIlBC, ZABCt /BCD = Z AD = CD = 2,过点 A 作 AE_LAB, 63交BC于E现沿AE将折起，使得BC _LOE,得到如图2所示的四棱锥B-AfCD,在图2中解答3(2)若尸在侧棱此上BF =严,求证：二面角C-b为直二面角.【答案】(1)4(2)证明见解析【分析】(1)利用线面垂直的判定定理确定高，

13、再用体积公式直接求解;利用空间向量的坐标运算，证明两平面的法向量数量积等于O即可.【详解】(1)在图 1 中，V ABC = -.AEIABt :. ZAEB = -t 63又 NBCDJ , . AEHCD, 3又 AD/BC,四边形AEa为平行四边形，. AD=CD,平行四边形AECo为菱形.在图2中，连接AC,则OEiAC,XBCl DE, AC, BC U 平面 ABC,AC BC = C, . 平面A8C,. ABU平面A8C,二 ABA.DE . AE L AB, AE DE = E, AE, DE U 平面 AECDtti-AECD SAECD X-f AD AEsin-I AE

14、tan | = 4(2)在图2中，以A为原点，以Ao所在的走线为 轴建立如图所示的直角坐标系,则3(0,0,2我,ZXO,2,0),E(3l,0), C(3,3,0),EF = EB + BF=EB + -BC = (-3, -1,23) + - (3,3, -23)44设面CEF的一个法向量为 = (, % zj, EC = (0,2,0),1 EC = 0 _ %.EF=G2y=06 5G 八% + V1 + zl =0 14 I 4刀 2 ,令z1=l,则Xl=2,X =0,取修=(2,0,1)设面DEF的一个法向量为W2 = (%，y2,z),ED =(一石,1,0),kFD = 0一

15、后2+%=巧 M CnT 353_n2EF = 0-x2+-J2+-Z2=O令七=1，则，4=-2,取巧=(1,6,-2) 所以4 % =0,一 4 J.%，从而二面角C-EF-。为直二面角考点06：已知二面角求其它量11 .已知梯形CE尸。如图(1)所示，其中PD = 8,CE = 6, A为线段PO的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE平面ABCz),得到如图(2)所示的几何体.已知当44上一点F满足IAq=WA目(0% , mA. DEmEF = 0= m DE = O4(-l)x-2z = 04x-4y + 2z = O若Zi = (a,b, c)是面PCE

16、 一个法向S *n PE rPE = 0 40-2c = 0nV PC I zPC = O 4a + 4Z-4c = 0可得 = (IJ2),所以有= + S+4 = 0, A-I A-I3解得 故选：C.12 .如图，在多面体A8COE中，平面ABC/平面ACDE：,四边形AeQE是等腰梯形，ED/AC, ABlAC,AE = ED = DC = -AC = X 2DE(1)若AB=1,求8。与平面ACZ)E所成角的正弦值；(2)若平面BDE与平面BCO的夹角为：，求AB的长.4【答案】T【分析】(1)建系，利用空间向量求线面夹角；(2)分别求平面BQE、平面8C。的法向量，利用空间向量求面

17、面夹角.【详解】(1)由题意可知：ABJ.AC,平面ABC人平面ACZ)E,平面ABCC平面ACDE = AC, 可得A平面AaE,如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则C(2,0,0),0 ,0,E ,0,且平面ACOE的一个法向量为m= (Oj0),若 AB = 1,则 B(OJO),可得8。r UUDCs(标朋)=彳留= 同网2, 故BD与平面ACDE所成角的正弦值为T.(2)设B(OM,0),平面BCD的法向量H=(X,y,z),.CD = Ro由。=(一2M0),则卜8 = T + f = 勺 CB = -2x+ay = 0令 X = St?,则 y = 2,z = 4 ,取I

18、=(G,26,),设平面BDE的法向量% =(x0,y0,z0),n2 DE = -x0 = 01 JJn2BE = -xo-ayo + -zo = 0unuur f 1 .HV DE = （-1,0,0）,BE = -,则令% =6，则 Xo=O,z（）= 2，.取4 =仅,6,2）,由题意可得：卜OSnl,%|= = / ,2a+：, =COS? = 解得=诬或6r = 一如（舍去）, 帅 242+1246z2+34222故AB的长为理.2考点07:空间两点间的距离13 .己知点A(l,l,2)关于了轴对称的点为小点，则IA同=()A. 2B. 5C. 25D. 4【答案】C【分析】根据空

19、间坐标系中的点关于轴的对称可得对称点坐标，进而根据点点距离即可求解.【详解】A(l,l,2)关于y轴对称的点为8点，则8(1,1,2),网= J(I+ lf+0 + (2 + 2)2 =2B 故选：C.14 .三个平面两两垂直，它们交于一点O,空间一点P到三个面的距离分别为,J和2正，则 PO=.【答案】5【分析】利用向量表达出。P = 04 + 04 + 0C,求出OP的平方，进而求出线段。尸的长度.【详解】构造以OP为对角线的长方体，则OP = OA+ O8 + OC,且04,03,0C两两垂直，fl. = 2,0B = 3,0C = 25 ,故0P2 =oa + 0B + oc2 =o2

20、 + 网2 + oc2 =2 + 3 + 20 = 25,所以OP = 5.故答案为：5考点08:空间点到直线的距离15 .己知空间三点A(2,1,0),3(2,1,T),C(l,0,1),则点C到直线A8的距离为【答案】2【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】易知 AC = (1,7,1),AB = (0,0,-1),则卜OS(4C)I=JCBsinlAC,AB)= ,1 z aCAB 3/ 3故点C到直线AB的距离为,Csin(AC, AB) = Jx半=& .故答案为：216.如图，在平行六面体48C。-4产2中，以顶点A为端点的三条棱长都是小 且ASJ_AD,NAA8 =幺A

21、O = 60。，E为CG的中点，则点E到直线AG的距离为()A. B.旦C.yD.旦10543【答案】A【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】在平行六面体ABCZ) AMGR中，不妨设A8 = d, AD = b, AAi=c. . 1AC = AB+AD+ AAy =d+b + c,QE=-c fM = W=H = ，db = 0,d C = bc = aaa2,所以IACII = I4+ Z+c =yd + bi+ c +2d b + 2dc+2cb = 5a , C1E = -tzCC =-c(t/+Zj + cZ? + ccj = -a2,

22、所以E到直线AG的距离为d = Jc,/- GE尚蓑=将,故选：A考点09：空间点到平面的距离17.如图，在圆锥So中，AB是底面圆。的直径，So=AB = 4, AC = BC,。为So的中点，N为AO的 中点，则点N到平面SBC的距离为()【答案】B【分析】以点。为坐标原点，0C、04、OS所在自：线分别为X、y、Z轴建立空间自角坐标系，利用空间 向量法可求得点N到平面SBC的距离.【详解】因为AC = BC,。为44的中点，则OC_LAB,由圆锥的几何性质可知SO _L平面ABC,以点。为坐标原点，OC、0A. QS所在直线分别为4、y、Z轴建立如下图所示的空间出角坐标系,则 S(0,0

23、,4), B(0,-2,0)、C(2,0,0) , A(0,2,0)、O(0,0,2)、N(OJl),设平面SBC的法向量为 = (x,y,z), BC = (2,2,0), BS = (0,2,4),nBC = 2x + 2y = 0则4n BS = 2y + 4z = 0取 y=-2可得 = (2,-2,1),BN-n 1-6+ 1 5又因为8N = (0,3,l),所以，点N到平面MC的距离为d = 1rrl = y-i = 33故选：B.18.如图所示，在棱长为1的正方体A8C。-ASG。中E为线段QA的中点.求证：平面480,平面ACGA ；（2）求A到平面ABE的距离.【答案】（1

24、）证明见解析【分析】（I）先证线面垂直，再根据面面垂直的判定定理可证结论;（2）建立坐标系，结合空间向量，利用点到平面的距离公式可求答案.【详解】（1）因为48CZ） AAGA是正方体，所以AAl，平面A88,所以AA又B0_LAC, Mf AC = A,所以平面ACGA， 8。U平面A8。，所以平面AB。，平面ACGA .（2）在正方体A8CZ）-A禺Ca中，以用为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（Lo,1）, 4。，。，。），B1 (o,o,o), mi,IL BIA=(1,0,1), ME=(I,用,AI=(TOO),设平面。4E的一个法向量为 n = (x,y,z),. 4A =

25、 X+ z= 01 ,令z = 2,则X= -2, y = l,即 = (-2,1,2). n BiE = x+ y + -z = 022设A到平面做七的距离为，则,=yJ即点A到平面破E的距离为3.川 33考点10：空间直线到平面的距离19.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E, F分别是BC, CD的中点，则BD到平面EFDiBi的距离为.【答案W【分析】以。为原点，直线OG。/力分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易求平面EFD山, 的法向量 =（-1,1），再利用公式求解.【详解】以。为原点，直线D4 DC, DDi分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,0j,D,(0,

26、0,l),D(0,0,0)E/+卜别,EA=,卜草)设平面平面EFD1B1的一个法向量为 = (,y,z)11八所以nEF = 0 =n ED1 - 0Xy = 0O 9 1,令 X=-1,则 y = Lz = J-X-j + z = 0易求平面EFD冏的法向景 =(T1，)，乂。户=(0，,0), 所求距离为故答案为 【点睛】本题主要考查点到平面的距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能 力.20 .在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA，底面ABCD, BCII AD, Z ABC = 90o, PA = AB = BC = 2, AD = I,则AD至IJ

27、平面PBC的距离为.【答案】2【分析】由已知4B, ADt AP两两垂直，以4为坐标原点，AB, AD, AP分别为X轴，y轴，Z轴建立空间宜 角坐标系，利用向量的方法求AD到平面PBC的距离.【详解】由已知A8, AD, AP两两垂直.以4为坐标原点，八8, AD, AP分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), 8(2,0,0), C(2t2l0),P(0,0,2), PB= (2z0, -2), BC=(0,2,0).设平面P8C的一个法向量为百=(,”,c),则：C 令=,则 =(Lo,1).又AB =(2,0,0),. d=向 也=0I可=2故答案为：2【点睛】本

28、题主要考查线面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.考点11：空间平行平面的距离21 .在边长为1的正方体48CZ)-A8CA中.平面ABC与平面AOG之间的距离为()A. BB. 1C. D. -3323【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】解：建立如图所示的直角坐标系,则A(1,0,0), G(O,1,O), zo,0,1), (i,o,d,所以期=(1,0,T), D=(0,l,-l), AD = (-1,0,0),n DA. =X-Z = Q, x=设平面AG。的一个法向量Zn = (X,y,z),贝叫，令Z = I得1 ,故m

29、 = (l,l,l),wDCl =y-z = oIy = I显然平面ABC平面,oq, 所以平面AaC与平面AxDCx之间的距离d =22.已知点 4 (I, 0, 0),B (0, I, 0), C (0,O, 2）, P（1,-1,O）,那么过点P平行于平面ABC的平面与B.C.【答案】CAPn（分析】求得平面ABC的一个法向鼠t = （x,y,z）,由4 = W 求解.【详解】因为点 A (I, 0, 0), B (0, I, 0), C (0, 0, 2),所以 A8 = (-1,1,0). AC = (-1,0,2), AP = (OLl,0),设平面ABC的一个法向量为=（乐y,

30、z）,T+y = 0-x+2z = 0ABn=O 口，即ACn = O令=i,得y = i,z = g,则” = (1,1,J),APw 2H 3故选：C考点12：空间异面直线之间的距离23.长方体48C。-AAGA中，AB = M=2, AD = I, E为CG的中点，则异面直线8C与AE之间的距离是（）OABA. 1B.叵321【答案】D【分析】建立如图所示的空间直角坐标系, 间向量的数量积求得结论.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,AE = (-1,2,1), BCx =(-1,0,2),设5R与AE的公垂线的一个方向向浓为则乃+ 2z =。,取Z = L得X又 AB = (0,2,

31、0),所以异面直线8G与AE之间的距离为d =CD.匹321得出各点坐标，求出BG与AE的公垂线的一个方向向量，由空则 A(IO0), 砌2,0), C(0,2,0), C1 (0,2,2), (0,2,1),= (x,y,z),=2, y =,即 = (2,g,l),ML 2x：二 2故选：D.51/ B24.正四棱柱 ABC。ASGA H则只。间距离的最小值为r 22(1)212b底面边长为1,侧棱长为2, PQ分别是异面直线AA和BO上的任意一点,答案】I【分析】利用空间向试法求出异面直线AA和8。的距离，即可得解.【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、A(1,0,2)

32、, O(0,0,2), 8(1,2),所以AA = (LO,2), 03 = 0,1,0), DA = (t0,0),设 =(Z)且;U即优二,令Z=L则户-2, i所以上(221),所以异面直线AD1和BD的距离dD 2斤5考点13：共面直线夹角的向量求法23.如图：正三棱锥ABCQ中，七尸分别在棱A&AO上，AE: EB = AF: FD = ,2 ,且CE.8尸=0,则/BAC 的余弦值为()【答案】C【分析】用向量表示AB、AO表示向量AE、AF，然后利用数吊积运算及夹角公式计算即可【详解】设AB = AC = AO = ,则AE = A尸=,因为CE Bf = O,所以（AE-AC）

33、 （AF-A8） = 0,所以 4EAF-AEAB-ACAF + ACA8 = 0,所以A3 AO1A3 A3 AC,AO+AC A8 = 0,化简得工A8 AC =1/,933933 2所以A8AC = = /,所以8s8AC = dr笛=卫=2,即/84C的余弦值为7 AAC 0 7 7故选：C.24.如图，在正方体ABCD-AIBGDl中,E为GA的中点，尸为四G的中点.求证：EF平面ABCD；求直线QE, BF所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行;(2)以O为坐标原点，向量OA, 0C, Q。方向分别为X，y，Z轴建立如

34、图所示空间直角坐标系，根据空 间角的计算公式计算即可.【详解】(1)证明：如图连片口几何体ABCQ-ABCR为正方体, . EF / B1D1,/. EFW BD. EFV BD, Bz)U平面 48CZ EFt平面 488,二 EF平面 ABCD；(2)解：以。为坐标原点，向量川,DC，DA方向分别为X，y, Z轴建立如图所示空间直角坐标系令AB = 2,可得点。的坐标为(0,0,0),点E的坐标为(0,1,2),点尸的坐标为(1,2,2),点B的坐标为(2,2,0),B 尸= (-1,0,2), DE = (0,1,2)DE BF cos(Z?E, BF)=DE BFDE, 8厂所成角的余

35、弦值为44yl + 4yi+45考点14：空间线段点的存在性问题25.如图，正方形ABC。所在平面外一点f满足PB_L平面A8CQ,且AB=3, PB=4.求点A到平面PCD的距离;线段8P上是否存在点使得。E_L平面办C,若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由.12【答案】?：（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）利用等积法，根据线面垂百，面面垂直的判定及性质结合条件即得:（2）利用坐标法，设E（O,O）Sr4）,结合条件可得0EPC = -9-4f = O,进而即得.【详解】（1）由题意，,-cd=11334 = 6,由 PAJ平面 ABCD, PBu平面 PBC, 可得平面PBCJ

36、平面ABCD, 而。CLAC,且平面P3Cc平面ABeD = BC, DCU平面ABCD, . .OCL平面 PAC, PCU平面 PBC,可得。C _L PC, CD=3, PC 32 +42 = 5,q 0.PCD= 135 = 设A到平面PCO的距离为从 则gx = 6,12点A到平面PCD的距离为M ；（2）以8为坐标原点，分别以8C、BA. BP所在直线为x、y、Z轴建立空间直角坐标系,则。(3, 3, O), C (3, O, O), P (O, O, 4),设 E(0,0)(0f4),则 PC = (3,0,-4), DE = (-3,-3,z),若。L平面以C,则。EPC =

37、-9-4f = 0,9解得，=-了，不合题意，4故线段BP上不存在点E,使得OEJ_平面PC.26.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCo是平行四边形，PGI平面ABC,垂足为G , G在4。上, PG = 4, AG = GDt BGlGC, GB = GC = 2, E是BC的中点.(1)求异面宜线GE与尸。所成角的余弦值：(2)若/是棱PC上一点，且力尸J_GC,求名的值.FC【答案】(1), (2) 310【分析】(1)以G点为原点，G8,GGGP为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标, 叮出两条异面立线对应的向量，根据两个向量的所成的角就可以确定异面直线所成的角

38、.(2)设出点的坐标，根据两条线段垂直，得到两个向卡的数景积等于0,解出点的坐标，根据向量的模长之比等于线段之比，得出结果.【详解】以G点为原点，G8,GCGP为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0), C(0,2,0)(0,0,4),故 E(l,i,0),GE = (l,l,0),PC = (0,2,4).GE PC MGEPC - IO ,所以GEhjPC所成的余弦值为叵.10（2）设F（0,y,z）,则。尸=（力-豹, 因为IGC， 所以 FGC = 2y-3 = 0,3所以y = 5，又所= 4PC所以Z = I,故力寺)M = O3)/C = (O,g, 135PF -V-所以正=方=3.2