12.4 复数的三角形式（分层练习） 试卷及答案.docx

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1、第12章复数12.4复数的三角形式精选练习基础篇一、单选题1. （2022春江西南昌高一南昌县莲塘第中学校考期中）复数（Sinl00+icos 10。）（Sinl00+icos 10。）的三角形式是（）A. sin 30o + icos 30B. cos 160oisin 1600C. cos 30o + isin 30D. sin 160o + icos 1602. （2022春新疆巴音郭楞高校考期末）任意复数z = +比（。、bR, i为虚数单位）都可以写成 z = r（cos9+isin6）Mm,其中r = 77，F（O。 2乃）该形式为复数的三角形式，其中6称为第数的辐角主值.若复数z

2、 = 3 + U,则Z的辐角主值为（） 2 2 A.-6b 7C包 ,3d3. （2022春黑龙江绥化高一校考期末）已知（l-ipz = 3+2i,则2:=（）1 3.3.3 .3A. -1 1B. -l + -iC.+ iD.22224. （2022春甘肃金昌高一永昌县第一高级中学校考期末）已知z = 2-i,则z（3+i）=（）A.6-2iB.4-2iC.62iD.4+2i5. （2021春广东惠州高一校联考期中）已知Z = （I 后卜卜CoSe+ isinj, MaFgZ=（）C九一2兀C5A.-B.-C.D.32366. （2022春广东广州高一广东实验中学校考期中）复数Z = CoS

3、（-J + isin（-会）的辐角主值为（）8C8一 2、2A. B.C. D.55557. （2022春北京大兴高一统考期中）在复平面内，复数的共辄更数对应的点位于 I-ZB.第二象限A.第一象限C.第三象限D.第四象限8. （2021春江苏苏州高一统考期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：*=cosO+isinJ 为自然 对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三 角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，e=（）A. 1B. 0C. -1D. 1 + Z二、多选题9. （2021春江苏南京高一南京市第二十九中学校考期末）欧拉公式*=

4、8s0 + isin6 （其中i是虚数单位, 0R）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数 函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正 确的是（）A,复数/对应的点位于第一象限B.复数士的模长等于立1 + i2C. *为纯虚数D.尚苧+ = o10. （2022春福建莆田高一莆田一中校考期中）已知i为虚数单位，若Zl=MCOSg+isinq）,z2 =/;（cosft +isin）,，zn = ,（cos isin）,则Z1Z2 Zn = rxr2 fcos（9,+ +）isin（91+ + +劣

5、）.特别地，如果2 = z2 = = zn =r（cos + isin）,那么r（8se+isin。） = （CoS夕+ isin。），这就是法国数学家棣莫佛 （16671754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题箝误的是（）A.若Z = COS2+ isin2，则/二 一2+且i 662 2B.若Z=COSq+ isin?,贝Jz5=l + i一 . J 7万.l J . . 1 ril /C. zl =21 cos +1 sin I, z2 =31 cos- + sn-j-1, 则 zZ2=6 + 6,.23万.23.（ 兀.兀、 rrD. =31 cos-一sn-p-I,

6、z2 =41 cos + sn-I,则 z1 z2 =63-6i 三、填空题II.（2022春广西钦州高一校考期末）arg（-l-i）=.2 212. （2022春安徽合肥高一合肥市第八中学校考期中）写出复数z = 6 + i的三角形式是.（辐角 0,2）13. (2022春上海嘉定高一校考期末)复数的三角形式cos + isin1的辐角主值为.14. (2022春上海闵行高一校考期末)若复数z = -6+i(i为虚数单位)，则argz=.四、解答题15. 将下列复数化为三角形式：(l)-3+i;(2)-l-3i;(3)-21 COSy+ sny I ；(4)21 Siny+ ICOSy I.

7、16. 计算下列各式：l,( 4zr . . 4 ( 5乃.( )16 cos + sn4 cos + sn：I 33 J I 66 Jt(2)3(s 20 +isin20 )12 (cos 50 +isin50 ) 10 (cos 80 +isin80 )；(3)(-l + i) 可CoS子+ isin?).17. 已知复数z=i(l-i)3.(1)求argz及IZll ；(2)当复数Z满足IZI = L求z-zj的最大值.18. (2021春.广东茂名.高一统考期末)已知A(1,1), 3(肛2), C(-2,3), 0(-1,)是复平面上的四个点，其中小，wR,且向量BC，4。对应的复数

8、分别为ZI, z2.(1) z1-z2=l-i,求z, z2(2)若k+z, = 0k = 2, N?对应的点在复平面内的笫二象限，求二坐.ZIT19. (2022春福建泉州高一福建省泉州市培元中学校考期中)己知复数z = (z+3)-(z+l)i已在复平面内对 应的点在第一象限，i是虚数单位.(1)求实数加的取值范围(2)当? = -2时，求复数Z的三角表示（3）若复平面内，向量。2对应（2）中的复数Z ,把OZ绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ；,求向量OZ；对 应的复数4 （结果用代数形式表示）20. （2022春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中）欧拉（17071783）,他是数学史

9、上最多产的数学 家之一，他发现并证明了欧拉公式d9=cos%isin仇从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的。 取作兀就得到了欧拉恒等式e%l=0,它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来， 两个超越数自然对数的底数%圆周率乃，两个单位虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类 伟大发现之一的0,数学家评价它是“上帝创造的公式“，请你根据欧拉公式：-0=COS升isin仇解决以下问 题：（1）将复数,+*写成+加（。，bQR, i为虚数单位）的形式；（2）求*i-* I （9R）的最大值.提升篇一、单选题1.（2022春河北张家口高一统考期末）欧拉公式eM=cose+is

10、in9（e = 271828 ）是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知J“JrTrJTA. - + 2kk Z)B. + 2E(ZeZ)C. - + E(ZwZ) D. 一+ E(%Z)36362. （2022春吉林长春高一长春十一高校考阶段练习）在复平面内，若复数-1-5对应的点的坐标为（-1,2）,A. 1B. -1C. 2D. -254_ 11_ 5A. -B. -C.D.一乃63634. （2021春山西朔州高一统考期中）已知复数Z=正L 则 argz=() 22C.5C 1A.-B.D.63633. （2022春河南开封高一校联考阶段练

11、习）iz1=-l + 3i,5. （2022春上海浦东新高一校考期末）-1-曲的三角形式是（）,则argZ2=()C. 2(sin乂+ ic。SF)D. 2fc0s + isinZl(66 )166 J6. （2021春.吉林长春.高一长春十一高校考阶段练习）任何一个复数z = +历（其中力Ki为虚数单位）都可以表示成：z = cose + isin9）的形式，通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现: z =mcose+isin6） = /（cos/+isine）（GN.）,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）团=IZF（2）当 r = l,时，z3

12、= l（3）当r = l, 6 = 9时，z=-i32 2（4）当r=1,时，若为偶数，则复数z”为纯虚数4A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题7. （2022春福建三明高一统考期末）设复数z = +且其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（） 22A.z + z = lB. Z2 = zC.z是方程2r+l = 0的一个根D.满足zR最小正整数为38. （2022春重庆沙坪坝高一重庆八中校考阶段练习）下列关于复数Z的运算结论，正确的有（）A. zz = z2B. z2 =z2c. z1z2=z1z2d. z1+z2zl+z29. （2021春广东东莞高一东莞市新世纪英才学校校考阶段练习）

13、已知i为虚数单位，在复平面内，复数Z =皂，以下说法正确的是（）2 + 14A,复数Z的虚部是72 4C.复数Z的共加复数是彳B. IZl=ID.复数Z对应的点位于第一象限10. （2022春江苏盐城高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）任何一个复数z = +历（其中a, 6 w R, i为虚数单位）都可以表示成：z = cos+isin0的形式，通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： zn =r（cos9 + isin w, = r（cos + isin79）（wV*）,我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说 法正确的是（）A. z2 =I 212B.当 r = 2, O =

14、1时，z =l-3i6C.当r = l, 6 = 2时，Z3=-ID.当r = l,?时，若为偶数，则复数z为纯虚数三、填空题11. （2023春江苏盐城高一盐城中学校考阶段练习）将复数化为三角形式：I-i=.12. （2022春.上海青浦.高一上海市青浦高级中学校考期末）复数1 + i的辐角主值是.13. （2022春上海虹口高一校考期末）已知复数z=-5 + i,若复数Z满足2iz = z,则复数Z的辐角主值 为.14. （2022春浙江温州高一校联考期中）欧拉公式e=cosx+isin% （i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧 拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数

15、函数的关系.试用欧拉公式计算15. （2022春河南安阳高一安阳一中校考阶段练习）设复数Z” Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z=2+i, i是虚数单位，则三=.Zl16. （2021春湖南高一校联考阶段练习）欧拉公式*=8sx+isinx （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当尤=W时，3=cos- + isin-,根据欧拉公式，若将e2i所表示的匏数记为z,则将复数 333A 表示成三角形式为.四、解答题17. （2022春湖北武汉高一武汉市第十一中学校联考期中）已知复数z=l-i, Z2=mT,mR, i为虚数单位.若Zl在复平面内对应向量将OZI绕点。顺时针旋转60。

16、得到向量对应的复数为Z,求Z;若Z2是关于X的方程x2-x+1O = O（7R）的一个根，求实数m与的值.18. （2022春广东东莞高一校联考期中）已知复数z = （2-叫（1-i）（机wR）.（1）若Z是纯虚数，求小的值;若，在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.19. (2022春福建泉州高一福建省德化第一中学校考阶段练习)在复平面内，点A对应的复数是6 + i, 向量OA绕着点。按逆时针方向旋转120。得到向量OC(1)求点C对应的复数zc,;言都是实数，其(2)已知点8对应的复数Z满足IZ-Zol = 1,且(C优。0 = 120。，求复数z.20. (2022春新疆乌鲁木齐高

17、一乌鲁木齐101中学校考期中)已知Z是复数，且z-i和中i是虚数单位.(1)求复数Z和W;(2)若复:数2 + ? + (62_加_3在复平面内对应的点位于第三象限，求实数机的取值范围.第12章复数12.4复数的三角形式精选练习基础篇一、单选题1. (2022春江西南昌高一南昌县莲塘第一中学校考期中)复数(Sin 10o+icos 10o)(sin 10oicos 10。)的三角 形式是()A. sin 30o+icos 30oB. cos 160o+isin 160C. cos 30o+isin 30oD. sin 160o+icos 1600【答案】B【详解】(SinlO + icoslO

18、)(sinlO + icoslO)=(cos80o + isin800)(cos800+isin80o)=Cos 160o+isinl 60.故选：B.2. (2022春新疆巴音郭楞高一校考期末)任意复数z = +历(、bwR, i为虚数单位)都可以写成z = r(cos6+isin6)的形式，其中r = 7下(92乃)该形式为复数的三角形式，其中。称为复数的辐角主值.若复数Z =3+匕，则Z的辐角主值为()22A.-6B.工3C.2 TD.空 6【答案】A【详解】复数Z3 I . . . =+ i = Cos-+ ism，因此，复数2：=3+匕的辐角主值为E2 2662 26故选：A.3.

19、(2022春黑龙江绥化高一校考期末)已知(l-i)2z = 3+2i,则Z=()3333A. -1iB. -1 + iC.+ iD.i2222【答案】B【详解】(l-i)2z = -2iz = 3 + 2i,3 + 2i =(3 + 2i)i =一2 + 3i-2i-2ii故选：B.A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4 + 2i【答案】C【详解】因为z = 2-i,故W = 2 + i,故z(i) = (2-i)(2 + 2i)=4+42i-2=6 + 2i故选：C.5. (2021春广东惠州高一校联考期中)已知z = (l-Ji)xb . . cos+ ism,66)则 arg

20、 z =【答案】B【详解】Z = (I - Gi)X(一 CoS聿+ i si 吟= (I-Gi)X -亭+ =2i=2 cos+ isin-1I 22) 所以 argz = 5,故选：B6. (2022春广东广州高一广东实验中学校考期中)A 8_ 82A. B. C555【答案】A4. (2022春甘肃金昌高一永昌县第一高级中学校考期末)已知z = 2T,则z(N+i)=()Sinf-I 则 Ian = y-= tan2所以。=一1兀+2, kwZ,因为 argz0,2）,Q7r所以当A = I口寸，满足要求，argz = y 所以辐角主值为日.故选：A7. （2022春北京大兴.高一统考期

21、中）在复平面内，复数的共粗复数对应的点位于1-/A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【详解】TL=J： 、=4 +%的共枕复数为1-/ （l-z）（l + 0 2 22 2对应点为在第四象限，故选D.8. （2021春江苏苏州高一统考期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：=cos6 + isine C为自然 对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三 角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，E=（）A. 1B. 0C. -1D. 1 + /【答案】C【详解】因为解=CoSe+isin。,所 以 e - cos（-,

22、） + i Sin（Tr） = -1.故选：C.二、多选题9. （2021春江苏南京高一南京市第二十九中学校考期末）欧拉公式*=cosJ + isinO （其中i是虚数单位, 6R）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数 函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正 确的是（）A.复数/对应的点位于第一象限B.复数乙的模长等于也1 + 12C. * 为纯虚数D. eTi+eTi+1=0【答案】BD 【详解】A： e3i =cos3isin3 而/30 故*位于第二象限，错误;ex cosxisi .

23、2 - . rr3： k瓦石则其模长为日，正确；C： e,i =cos + isin = -l,则 ei 为实数，错误；r. T Ti 144.44 2 . . 211i1rzflD： e 3 +e 3 +1 = cos + sm + cos + sn + 1 =+ 1 = 0, IL33332 2故选：BD10. （2022春福建莆田高一莆田一中校考期中）已知i为虚数单位，若Zl=MCOSa+isinj,Z2=弓(CoSa+isia),Zn = ,(cos+isin),则Z1Z2 ZfJ=他 乙cos(+a+ +Q)+isin(G+a+ +&).特别地，如果zl= z2= = zn = r(

24、cos+ isin ),那么r(cosO+isin。)二/(cose + isin“。)，这就是法国数学家棣莫佛（16671754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题臂掌的是（）A.若 Z = COS军+isin,则 Z4=- +立i 662 2C -4-,“则 ZS = 1 + iC.D.22=3fcosH+isin12l2 I 1212 )则 zl z2 = 6 + 6i若 z1=3,os 驷Tsin 驷 1212J . . =4 cos + ism I44,则 4 z2 =675-6iB. z = Cos-+ sn-【答案】BCD【详解】A.若Z = CoSm+ ising

25、,则=cos加+ isin;r = +且i,所以该选项正确;66662 2B.若 Z = COSq+ isin?,则 z=cos/r + isin;r = -1,所以该选项错误;C.若 ZlJ7l=2 cos+ sm I1212)22=3cosll+isinl2 I 1212z1z2 =6cos + isin = -6i,所以该选项错误;= 6J+6i.所以该选项错误.zl Z2 = 12(csU/isinU 万I 66故选：BCD.三、填空题11. （2022春广西钦州高一校考期末）arg（-l-i）=. 22【答案】y【详解】由argewO,2力，而一_L-立i = cos色+ isin网

26、， 2 233所以 arg（-cos- + isin?)【答案】(l)32J + 32i . . cos+ sn-=66)323 + 32i.(2)-303 + 30isv+isinv)=64(1(2) 3 (cos 20 + i sin 20 )12 (cos 50 +isin50 ) 10 (cos 80 +isin80 )=60 cos(20+ 50 +80 ) + isin(20 +50 80 ) = 6(cosl50+ isin 150 ) =60一日+ gi = -30J+30i.17. 己知爱数z=i(l-i)。求argz及；(2)当复数Z满足z = l,求IZ-ZJ的最大值.【

27、答案】(l)argz=与，|zj = 2&； (2)2j+l【详解】解：ZLi(IT)3=22i,将Zl化为三角形式，得z=2eOS?+ isin?),argz1=, zl = 22.(2)解：由于复数 Z 满足忖=1,设 Z = CoSa+isin,则 Z-Zl=(COSa-2)+(Sina+ 2)i,z-z112 =(cosa-2)2 +(Sina+ 2)2 =9 + 4&sin (-?), 当sin(.) = l时，z-z了取得最大值9 + 4立.所以IZ-ZJ的最大值为2+1.18. (2021春广东茂名高一统考期末)已知A(IJ), 8(肛2), C(-2,3),是复平面上的四个点,

28、其中机，R,且向量BC, 4。对应的第数分别为4，z2.(1)若Z-Z2=l-i,求z, z2(2)若k+Z2 = &k = 2, Z?对应的点在复平面内的第二象限，求王卓.Zl-I【答案】(D ZI=-I+i, z2 =-2+21； (2) -l + 2i.UUU【详解】解：(1)由题意可知BC = (2,3)(叽2)= (-2-肛1),所以马=-2-z + i.UUIIAD = (-l,n)-(l,l) = (-2,n-l),所以z2 =-2+(l)i.Xz1 -z2 =-m+(2-n) = 1-i,-m = 1,m = -1,91所以a2-n = -l, = 3,所以z,=T+i, z2

29、=-2 + 2i.(2)由已知可得，z1+=(-m-4)+wi, z1+z2 = 2,所以(一加4+/=4,又应=2,所以(2 6)2+1二2,解得m = -3或切=T (舍)，又N2对应的点在第二象限，所以 =L可得 Z2 =+ l)i, z2 y3i = 2i, Z1=l + i可得 Z2-G=2 = -i + 2i.zi -1 i19. (2022春福建泉州高一福建省泉州市培元中学校考期中)已知复数z = (z+3)-(z+l)i已在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位.(1)求实数m的取值范围(2)当? = -2时，求复数Z的三角表示(3)若复平面内，向量。Z对应(2)中的复数z

30、,把OZ绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ,求向量OZI对应的复数Zl (结果用代数形式表示) . , cos + sin 144c、 1 + V3 l-3. 4=-+ 1【详解】(1)因为复数z = (m+3)-(m+l)i已在复平面内对应的点在第象限,所以w + 30.-(,l)0解得一3所以实数，的取值范围为：(TT)(2)当 z = -2 时，z = l + i,所以 r = J。+=, COSe = Sine =， . cos+ sn-44 )(3)根据题意得OZ = (1,1),设其旋转60。后对应向量OZ=(力)，所以a2+b2=2a + b=1,解得，y2ya2+b2 2l +

31、 3a2或,42l-3 a =232又因为绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ；,所以OZl对应的点在第四象限,l + 3所以工，所以V匕且+上回. z l-322b =220. (2022春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中)欧拉(1707 -1783),他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式/O=COS孙isin仇从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的。取作兀就得到了欧拉恒等式e+l=0,它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数一自然对数的底数e,圆周率兀，两个单位虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类 伟大发现之一的0,数学家评价它是

32、“上帝创造的公式“，请你根据欧拉公式：/e=cos6+isine,解决以下问题:(1)将复数学+*写成+历(小bSR, i为虚数单位)的形式;(2)求|*| (GR)的最大值.【答案】(1)4-1 +争；(2) 2.【详解】(1)+ c,t = cos + i sin + (cos + i sin )=44(2) Iem -* |=|cos;r + isin乃一(CoSe+ isin6)=(T-CoSe)TSinel =(1 + cos02+sin2 =2 + 2cos , ,当cos=l,即6=2反,kZ时，*-* (HGR)的最大值为2.提升篇一、单选题1.(2022春河北张家口高一统考期

33、末)欧拉公式ei=8s6+isin，(e = 2.71828 )是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知则6=()22TrjrJrTrA. 一+ 2A(&Z) B. + 2A( Z)C. + A( Z) D. - + k(k Z)3636【答案】B【详解】e=cos6+ isin。,e=cos=MG + a；b； +入月+牙质又IZIHZ21 =+6)(片+ 砥 =+ a/ + a圻 +可以，故C 正确；I zl + z212 = (al +2)2+( +b2)2 =af+c +月 +$ +2%。2 + 2Z1(z1+z2)2=12 +月 +a2 +片+ 213；+)(好+片)因为2；+42)(4；+片)=2+。；片+ 4 + b滤 2yJaa1 + 2a1a2blb2 + bk = 2axa2 + 2bh1所以z+Z2z+忆2I，D 正确.故选：ACD9. (202