2.5直线与圆的位置关系（分层练习）（解析版）.docx

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1、第2章对称图形一圆2.5直线与圆的位置关系精选练习基础篇一、单选题1.如果。的半径为6cm,圆心。到直线/的距离为d,且d=7cm,那么。和直线/的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定【答案】A【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可.【详解】解：.）O的半径为6cm,圆心。到直线/的距离为d,且d=7cm,.*.drt直线和圆相离.故选：A.【点睹】本题考查/直线和圆的位置关系的应用，注意：己知。的半径为r,如果圆心。到直线/的距离是d,当心厂时，直线和圆相离，当心/时，直线和圆相切，当d8的度数为()【答案】AC. 50D. 25【分析】由切线性质得出NRAO=90。，根据

2、：角形的内角和是180。、对顶角相等求出NBOD=NAOP=50。,即可得出答案;【详解】解：以与。相切于点A,人。是。的直径,.OAPA,.ZO=90o,ZP=4(T,.ZAoP=50。，NBOD=ZAOp=50。，OB=OD,.NOBD=NoDB,.ZADB=l(180o-50)=65,故选：A.【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是180,解题关键根据切线性质推出NPAO=90。.8 .如图，附，PB分别与Oo相切于A,8两点，NP=72。，点。是劣弧AB上的一点，则NAO8=()【答案】D【分析】根据切线的性质得NQAP=

3、N08片90。，再利用四边形内角和可计算出NAo8=108。，通过圆周角定理得出NACB的度数，最后通过圆内接四边形的性质得出NAOB的度数.【详解】解：Y附，P6分别与。相切于A,B两点，OAM,OB工PB,：NQAP=O8P=90,：,ZAOB+ZP=180,/.ZAOB=180o-72=108,：ZACB=-ZAOB=54,2Y四边形AoBC是圆内接四边形，ZACB+ZADfi=180,，ZADB=180o-ZACB=180o-54=126,故选：D.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角

4、三角形解决有关问题.也考查了圆周角定理.9 .如图，在AAOB中，NAoB=90。，08=3,半径为1的。与。8交于点C,且AB与。相切，过点C作CQJ_OB交AB于点。，点M是边OA上动点.则AMCO周长最小值为（）【答案】A【分析】延长CO交C)O于点E连接Ed此时周长最小.根据切线性质和勾股定理可求出CO的值，再根据三角形的周长公式可以算出最小值.【详解】如图，延长Co交G)O于点E,连接EZX交Ao于点M,此时MCD周长最小.设A8于。相切于点尸，连接OR则NoE8=900.oc=.-OF=OC=X.:.BF=yOB2-OF2=22QCDlOfiIlOC为C)O的半径.8是。的切线.D

5、F=CD./DCB=90。.:.CD2+CB2=BD1.即：Cf2+22=(2-CD)I解得：CD=-.2OJT.DE=yCD2+CE2=.2.ZWCD的周长最小值为：也里=2.22故选：A.【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、轴对称最短路线等问题，解题的关键在于正确找到用点位置.二、填空题10.设。的半径为4cm,直线L上一点4到圆心的距离为4cm,则直线L与。0的位置关系是.【答案】相切或相交【分析】根据直线与圆有三种位置关系：相离（直线到圆心距离大于直线半径）、相切（直线到圆心距离等于半径）、相交（直线到圆心距离小于半径）即可作答.【详解】直线上一点到圆心距离为4cm,圆心到直

6、线的距离4cm,直线与圆相切或相交.故答案为：相切或相交【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练地掌握直线与圆的三种位置关系并能够通过圆心与直线的距离判断直线与圆的位置关系是解题的关键.11 .如图,在半径为1Ocm和6cm的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,则弦AB的长为cm.AC，B【答案】16【分析】根据切线的性质得到OC_LA8,根据垂径定理得到4C=3A8,根据勾股定理计算，得到答案.【详解】解：是小圆。的切线，：.OCLABfIAB是大圆O的弦，.*.AC=ABt在R小AOC中，AC=yA2-OC2=观180-60?)60?,在RZzOG4中，？AoC90?CAO9

7、0?60?30?,OA=2AC=2?3.57, oc = Joa2 - AC2 = J72-73 -1 , 2即=拽.2故答案为：逑.【点睛】本题考查圆的切线的性质，切线长定理，含30。角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余.熟练掌握切线的性质是解题的关键.13.如图，直线A8,BC,C。分别与。O相切于E,F,GtAB/CD,若08=6cm,OC=Scm,则8E+CG的长等于【答案】IoCm#10厘米【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明N8OC=90。，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解.【详解】解：:48C。，：NA8C+NBCD=180。

8、，直线AB,BC,8分别与。相切于E,尸，G,.nobcJnabc,NOCBJNbcd,be=bf,cg=cf,221.NOBC+OCB=!(ZABC+BCD)=90,2：N8OC=90,在MABOC中，C=OB2+OC=62+82=1f+CG=10(cm).故答案为：10cm.【点睛】此题主要是考查了切线长定理.熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角是解决问题的关键.14.如图，线段QA=I0,以。为圆心，OA的长为半径作。O,8是平面上一点，且AB=6,过点B作直线/垂直于48,交。于C,D两点.若8取最大值时，则。8的长为./A【答案】8【详

9、解】解：如图所示，OA是点8的运动轨迹，【分析】根据条件分析点8的运动轨迹为以A为圆心，以AB长度为半径的圆，作出8的运动轨迹，过点B作真线LAB,交。于C,D两点,此时CQ为网的弦，要使S取最大值，即CO为食径时，此时在根据勾股定理计算08即可.过点8作直线LLA8,交。于C,O两点，此时Co为圆的弦，要使8取最大值，即8为直径时，VCDlAB,406是直角三角形，:0B=yAO1-AB2=102-62=8故答案为：8【点睛】本题主要考查圆的弦最大情况，根据题意，将图形画出，进而将线段长问题转化成为圆的弦最值问题，结合勾股定理计算即可.【答案】28915.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个

10、全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为.【分析】设直角三角形的三边分别为。，儿。，较长的直角边为。，较短的直角边为AC为斜边，由切线长定理可得,直角三角形的内切圆的半径等于Wzf,即+6-c=6,根据小正方的面积为49,可得（。-Z=49,进而计算/即/+z即可求解【详解】解:设四个全等的直角三角形的二边分别为。，Ac,较长的直角边为较短的直角边为瓦J为斜边,；直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,/.a+lc=3a-h)2=49,.+A-c=6，a-b=7,13+c.c1：.a=-,b=

11、,22,a2+b2=C?,解得c=17或c=-5（舍去），大正方形的面积为c2=172=289,故答案为：289.【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于空产是解题的关键.16.在正方形ABeo中，以AB为直径做半圆，过点。做OE切圆O于点凡交BC于点E,正方形的边长为2,求阴影面积.【答案】1.5【分析】先证明AdBC是。的切线，则BE=ERAD=DF=2,设CE=尤则BE=EF=2x,DE=。尸+E尸=4一，在心口）E中，由勾股定理得DE2=ce2+c02,求得X的值，进一步得到答案.【详解】Y四边形48CD正方形，：.ADA

12、B,BClABfZC=90,AB是。的直径，AD,BC是。的切线,OE切圆。于点E交Be于点E,：.BE=EF.AD=DF=2,设CE=t则BE=EF=2-,DE=DF+EF=4-,在心ACQE中，由勾股定理得，DE2=CE2+CD2,：.(4-x)2=+22,解得X=1.5,ACE=1.5,，阴影面积=SMZ)E=gsCE=1x2xL5=L5,故答案为：1.5【点睛】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、勾股定理、正方形的性质等知识，熟练掌握切线长定理的应用是解题的关键.三、解答题17.如图，以.ABC的边BC的长为直径作Ot交Ae于点。，若ZA=ZDBC,求证：A8是Co的切线.【答案】

13、见解析【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得/8。C=NBD4=90。，然后可得NA+NA8D=90。，等量代换求出ZDBC+ZABD=90即可证得结论.【详解】证明：.C为的直径，；NBDC=NBDA=90。,：ZA+ZABD=90o,:ZA=ZDBC,ADBC+ZABD=90，即ZABC=90，：.ABLBCfA8是。的切线.【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，切线的判定，熟练掌握基础知识是解题的关键.D18.已知：如图，AB是Oo的直径，点。在OO上，8。平分NABcAD=AE,AC与5。相交于点及(2)连接AE如图,=DE=2, ：DF=；DE=1,/. BC=AF=3.(1)求证：A

14、Q是OO的切线.(2)若Af=OE=2,求BC的长.【答案】(1)见解析衣【分析】(I)根据48是。的直径，可得NC=90。，由8。平分N44C,可得NCBD=NABD,根据AD=AE,可得NCE8=NOE4,进而可得/840=90。，即可得证；(2)连接AR根据等腰三角形的性质可得。产=TDE=1,勾股定理求得AF,证明即可求解.(1)TAB是OO的直径，ZC=90o,，/C8E+NCEB=90。，力平分/ABC,：.ZCBD=ZABD,:AD=AEf：.ZD=ZAED,tZCEB=ZDEA,INABD+ND=NCBE+NCEB=90。,即NRA=90。A是。O的切线，A8是Co的直径，,N

15、Af8=90。，即A尸1_80，VD在mAA力/中，40=2,。尸=1,.A尸=T=,/NDBA+NO=NEAB+ZDAE=90o,N。=/。AE=60,：.NDBA=NEAB,J.E=BE,又4AFE=乙C=90。，NAEF=NCEB,AEFBEC(AAS),【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.19.己知AB是。O的直径，点C在48的延长线上，A8=4,BC=2,P是Oo上半部分的一个动点，连接OP, CP.D图图(1)如图，AOPC的最大面积是；(2)如图，延长P。交。于点O,连接。8,当CP=Z)B时，求证：C

16、P是。的切线.【答案】(1)4见解析【分析】(1)因为OC长度确定，所以当点2到OC的距离最大时OPC的面积最大，当ORLoC时，当点P到。C的距离最大，等于圆。的半径，求出此时的AOPC的面积即可；(2)连接AP,BP,利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP=D8,ECP=DB,所以AP=CP,可证APBgZXCPO(SAS),得到/OPC=90。，即可证明。尸是切线.(1)解：.A8=4,OB=2,OC=OB+BC=4.在AOPC中，设OC边上的高为儿VSzlOPC=10C=2,当最大时，S4。PC取得最大值.作Loc如图，则尸。尸，当0P_LoC时，PO=PH,此时力最大，如答图

17、1所示:图答图1此时/?=半径=2,Sopc=42=4.40PC的最大面积为4,故答案为：4.(2)图 ZAOP=NBOZX：.AP=BD, ：CP=DB,：.AP=CPi ZA=ZC,在AAPBVACPo中，AP=CP ZA=ZC,AB=COAPBCP0(SAS),：.ZAPB=NOPGYAB是直径, NAPB=90。，N。PC=90。，；DPLPC,TOP经过圆心， 尸。是。的切线.【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键.20.E图1CDB图2(1)如图1,CA=CDfZ1=Z2,BC=EC.求证：NA=NO.(2)如图2,按以下步骤画图：以线段A

18、B的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；分别以点4点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C,点。；连接0C,0D,CD.若A8=4,求ACOO的面积.【答案】(1)证明见解析作图见解析，作图见解析，6【分析】(1)根据SAS证明ACBgOEC即可.(2)证明ACOQ是等边三角形，即可解决问题.(1)证明：如图所示：VZACB=Z+ACEtNDCE=N2。ACE,NI=N2,：,NACB=/DCE,C=CD2，点产的速度为每秒个单位长度,.1=3；当点P只与y轴相切时,PC=2.AP=AC+PC=5y2.点产的速度为每秒个单位长度，:.t=5.综上所述，则当，=1或3或5秒时，。尸与

19、坐标轴相切，故答案为：1或3或5.【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解.3.如图，AB、BC、CO分别与Oo切于E、尸、G,且A8CZX连接08、OCf延长Co交。于点过点M作MN/08交Co于N.(1)求证：MN是。的切线；当OB=6cm,OC=8cm时，求C)O的半径.【答案】(1)见解析(2)4.8cw【分析】(1)根据切线的性质和角平分线的判定定理可证明NoBC=TNA8C,OCB=bCD,再根据平行线的性质证得NOMN=N8OM=90。，然后根据切线的判定定理即可证的结论；(2)根据勾股定理求出8

20、C,再根据SdAOC=38。代04x0。求得。即可解答.解：如图，连接O石、OF、OG,* AB、BC、Co分别与G)O切于E、F、G,.OElAB,OFLBC,OGLCD,* ：OE=OF=OG,：.NOBa=NOBC,NoCB=NoCD,ZOC=ZABC,/OCB=W/BCD,* ：AB/CD.：.NABe+N8CD=180,：NOBC+NOCB=g(NABC+/BCD)=90o,ZBOM=ZOBC+ZOCB=90。,YMNOB,ZOMN=/BOM=90。,又OM为半径，MN是。的切线；(2)解：.N8OM=90,ZBOC=90o,在Rf80C中，08=6cm,OC=8cm,BC=OB2+

21、OC2=62+82=10cm,VOFlBC,SBOC=TBCOF=TOBOC,gJylOOF=y68,.*.OF=4.8cm,故G)O的半径为4.8cm.【点睛】本题考查切线的判定与性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、三角形的外角性质、勾股定理、三角形的等面积法，熟练掌握切线的判定与性质以及角平分线的判定定理，利用等面积法求出O尸是解答的关键.图图如图，在，ABC中，NABC=I30。，将JABC绕点C逆时针旋转50。得到VAbC,连接88，求NA58的大小；(2)如图，在ABC中，NABC=I50。，AB=3,BC=S1将/8C绕点C逆时针旋转60。得到V4BC,连接BB1以4为圆心，A

22、Tr长为半径作圆.猜想：直线88与A的位置关系，并证明你的结论；连接AB,线段AB的长度为.【答案】(1)65直线38是4的切线，理由见解析；后【分析】(I)根据旋转变换的性质得到NA3C=NABC=I30。，ZBCB,=50ofCB=CB1,根据等腰三角形的性质求出ZAEB的大小；(2)根据旋转变换的性质求出NAzB=90。，根据切线的判定定理证明；根据旋转变换的性质和勾股定理计算即可.(1)解：如图中，VA?C是由ABC旋转得到，.NAFC=NABC=I30。，CB=CB,：.NCBB=CBB,:NBCBf=50,；NC88=ZCB,B=65,：.ZABB=ZA,B,C-ZBB1C=65.

23、(2)解：结论：直线39是(A的切线.理由：如图中，VZA,B,C=ZABC=I50o,CB=CB,ZCBB1=ZCB1BtVZBCB=60,：,ZCBB=4CBB=0f,：.ZAB,B=ZAB,C-ZBBfC=90./.ABBB，直线B夕、是OA的切线：在RzAFB中，ZA,BzB=90o,BIr=BC=5,A,=AB=3,由勾股定理得，A,B=yAB,2+B,B2=34-【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、旋转变换的性质是解题的关键.5.已知RtZABC中，ZC=90o.根据作图过程，解决下列问题.【作图过程】：以点A为圆心，任意长为

24、半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K,作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交8C、BA于E、尸点，分别以E、尸为圆心、大于的长为半径画弧交于点G,作射线BG交射线AK于点O,过点。作QM_L8C于点M,点M为垂足，以点。为圆心，OM为半径作O.【解决问题】：(I)证明：。是RtAABC的内切圆；(2)若8C=6,AC=8,求二。的半径.【答案】(1)见详解(2)2【分析】(1)过O点作ODL48于。点，过。点作OPL4C于点P,根据角平分线的性质有Op=OD=OM,即。点到RtdA8C三边的距离相等，则有O点是RtLABC的内心，可知C)O是心

25、ABC的内切圆；(2)设。的半径为r,WOP=OM=r,先证明四边形OPCM是正方形，BRWCM=OM=OP=PC=H利用勾股定理求出AB=IO,再证明心0M8空用。8(乙)，即有8M=8),同理可得AP=4Q,则有AB=AD+BD=AP+BMf则r可求.(1)过。点作OfLL48于。点，过。点作OPJ_A。于点P,如图,根据作图可知。4、分别是NCA8、/A8C的角平分线,VOPAC,ODLABf0MBCtZC=90o,：.OP=OD,OD=OMf：,OP=OD=OMt，0点到Rid48。三边的距离相等，。点是&ABC的内心，OO是RmABC的内切圆；(2)设。的半径为广，即OP=OM=，

26、：OPLACtNC=90。，OMBC,OP=OMf 四边形OPCM是正方形，.CM=OM=OP=PC=r, ：BC=6,AC=S,；在心AABC中，AB=IO,YOM=OD,OB=OB,：.RtOMBQRtAODB(HL)fZBM=BD,同理可得AP=AD, ：BM=BC-CM=NnAP=AC-PC=8-rfAB=AD+BD,AB=AD+BD=AP+BM=S-r-6-r=14-2r=10,：,r2,即。的半径为2.【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图与性质、三角形内切圆的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握角平分线的性质是解答本题的关键.6.在矩形ABC。中，A8=2,BC

27、=I,以AB为直径的半圆切CO于E,2为CO上的动点（不与。、。重合）,连结4。交半圆于尸，连结8P、BF,如图甲所示.图甲图乙（I）当4r=28尸时，图甲中有几对全等的三角形？将其表示出来.（2）P点在C。上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图乙中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由.【答案】（1）图甲中有2对全等的三角形，分别为ZBE4/BPF学ABPC（2）P点在。上移动，能构成全等三角形的情况，共2次，作图见解析【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余、矩形的性质，结合全等三角形的性质分析，即可得到答案；（2）根据题

28、意，当NEM=30。时，即分别过点A和8,以AB为半径作圆弧并相交于点M,连接AM、BM,和。相交于点尸，根据全等三角形的性质，得AM=5f=AB,连接B尸并延长，于8相交于点P,根据等腰三角形三线合的性质，得NRBA=30。，根据全等三角形的性质证明即可；当点P和点E重合时，分别连接BE,根据矩形和切线长定理，结合全等三角形的性质分析，即可完成求解.（0根据题意，得NAF8=90：ZFAB+ZFBA=9（；AF=IBF:ZFBA=2ZF,ABZEAB=30o,Zra=60o.*.FB=-AB=X2Y矩形ABC。ZD=90o,CD/AB,AD=BC=：.ADP=ZFAB=30在ZADP和VBE

29、A中NDPA=NFABND=NA尸8=90。AD=FB-=I.*.ZADPBFA：DP=AF：ZAF=90oVSAAPR=-ABAD=-APFBLtD22，21=APxl22：.AP=2：PC=CD-DP=Z-DP,PF=AP-AF=I-AF：.PC=PF在P尸和PC中FB=BC=IPF=PCPB=PB：.NBPF/ABPC;(2)当NF84=30。时，得AF=JAB=I2/CDHAB：NCPB=NFBA=30。在8cp和AA即中ZCPB=ZFBa,ZC=ZAFB=900BC=AF=/.ABC乂AAFB,/ZAFB=90=-ABAD=-BPAF：BP=2VPD=CD-PC=I-PC,PF=BP

30、-BF=Z-BF：.PD=PF在产和AAPD中AF=AD=I,PF=PDPB=PB：ZAPFAPD作图如下：当点P和点亚合，即点P、点和点尸重：合时，得NFBA=NE48=45。作图如下，连接AEDE(P)CY矩形ABCD,：ZZMB=ZCBA=90 /。直径为44 AO和BC分别于。相切于点A和3：以AB为直径的半圆切CD于E,DE=AD=,CE=BC=X在SAOE和ZIBCE中AO=BC=I ZD=ZC=90DE=CE=I：.AADE之ABCE 尸点在CD上移动，能构成全等三角形的情况，共2次.【点睛】本题考查了圆、矩形、等边三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握切线、矩形、等边三角形、等腰三角形三线合一的性质，从而完成求解.