数值分析习题.docx

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1、第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比拟选择、误差和误差限的计算。1假设误差限为0.5x10那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2万=3.14159具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3=1.2031,6=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问。+人，力有几位有效数字？（有效数字的计算）4设x0,X的相对误差为5,求InX的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度的值为力=20Cvn,底面半径的值为=5cvn,I力一0.2c机，r-r40cmf求圆柱体体积U=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）6设工的相对误差为。,求y=

2、/的相对误差。（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）18设/“=/JXZdV,求证：0二1-MT（=0,1,2）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比拟选择）第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 /(-1)=2,/(1)=1,/(2)=1,求/(%)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)2 y=,0=4,x1=9,用线性插值求行的近似值。(拉格朗日线性插值)3假设勺(=(),.)为互异

3、节点，且有J(xj-)U;TI)(Xj-M-Xj+).(xz-Xj试证明S3(x)三/(2=0,1,.)。(拉格朗日插值基函数的性质)J=O4sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,ffl抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)TFTT5用余弦函数COSX在/=O,X1=-,%=5三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式，并近似计算CoSl及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比拟。(拉格朗日二次插值)66函数值/(0)=6,/(1)=10,/(3)=46,/(4)=82,/(6)=212,求函

4、数的四阶均差/0,1,3,4,6和二阶均差/4,1,3。(均差的计算)7设/(x)=(x-x0)(x-xi)(-xzj)求/x0x1xp之值，其中pn+,而节点xi(i=0,1,+D互异。(均差的计算)8如下函数值表X0124f()19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)9求一个次数小于等于三次多项式M%)，满足如下插值条件：P=2,p(2)=4,p(2)=3,p(3)=12o(插值多项式的构造)10构造一个三次多项式H(X),使它满足条件H(O)=1,H(I)=0,H(2)=l,Hf(l)=K埃尔米特插值)。311设/(乃=/,/=1/4当=l,x2=9/4。试求/

5、*)在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得”(乙)=/(勺),/=0,1,2,”(为)=/区)，”(x)以升累形式给出。写出余项R(X)=/(外一”(X)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。12假设f(x)W。2侬勿J()=fS)=O,试证明：max/(x)-(Z?-)2max(x)1插值余项的应用)axb8flxb13设/(-2)=-1,/(0)=Lf=2,求P(X)使p(xi)=/(x,)(z=0,1,2)；又设|/X)I，那么估计余项x)=f(X)-P(X)的大小。(插值误差的估计)第三章函数逼近习题主要考察点：最小二乘法，最正确平方逼近，正交多项式的构造。1设/

6、(x)=sinr,求/(X)于0,1上的线性最正确平方逼近多项式。最正确平方逼近)2令f(x)=ex,-IXlf且设P(X)=4+%x,求%,a使得P(X)为f(x)于-1,1上的最正确平方逼近多项式。(最正确平方逼近)3证明：切比雪夫多项式序列Tk(x)=CoS(Aarccosx)在区间-1,1上带权P(X)=T=正交。(正交多项式的证明)l-x2xi+x2=34求矛盾方程组：,玉+2/=4的最小二乘解。(最小二乘法)XlT2=25一组试验数据422.53455.5yk44.5688.59试用直线拟合这组数据.(计算过程保存3位小数)。最小二乘线性逼近)6用最小二乘原理求一个形如y=a+bx

7、2的经验公式,使与以下数据相拟合。Xk1925313844九1932.34973.397.8(最小二乘二次逼近)第四章数值积分习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式梯开九辛甫生公式，复化求积的计算，高斯公式的构造。1给定求积公式J：J(X)公。4(-力)+打(0)+1。(雅可比迭代法的收敛性)遮223用雅可比、富斯-塞德尔迭代法，求解方程组X1+2x2-3b=0.31J|_2_(1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2)假设有迭代公式*d=x+(A幻+。)，试确定a的取值范围，使该迭代公式收敛。(雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论

8、)6给出矩阵A=I1为实数)，试分别求出。的取值范围：la1J(1)使得用雅可比迭代法解方程组AX二8时收敛；(2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组AX=时收敛。(雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论)2117设A=,b=12J|_2_设3幻是由雅可比迭代求解方程组Ar二人所产生的迭代向量，且)=(Ll)L试写出计算2幻的精确表达式。(2)设X*是Ar=的精确解，写出误差Ika)-XHoO的精确表达式。(3)如构造如下的迭代公式XaT=X+g(A幻一加解方程组AX=从试确定&的范围，使迭代收敛。1雅可比迭代及其收敛判断)x1+2x2-2x3=18对于给定的线性方程组1x1+x2+x3=22x

9、1+2x2+x3=3（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。（2）对收敛的方法，取初值）=（1,O,O）T,迭代两次，求出X,工，x。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比拟）9证明对称矩阵1aaA=a1aaa1当一Lvi为正定矩阵，且只有当一l为方程的根）。（2）此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。（3）取与=4用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过IO-，,列出各次迭代值。（和收敛性讨论）4设=e(x),max(x)=4v1,试证明：由X“+=0(x)11=O,1,得到的序列x,J收敛于9。(收敛性证明)25设方程3-3X一2SinX=O在0,1内的根为/,假设采用迭代公式X

10、e=1一Sinz,试证明：xA均有IimZ=tC为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。(迭代法和收敛性1-X讨论)6方程N3一/一1=0在XO=I5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：(1) X=IHf对应迭代格式：x+=IhJ-厂(2) X3=l+x2,对应迭代格式：x+1=11+片(3) =,对应迭代格式：x+1=JXTvx111讨论这些迭代格式在XO=I.5时的收敛性。假设迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出%=1.5附近的根到4位有效数字。(收敛速度的计算和比拟)f(x)=(x3-a)2(1)写出解/(x)=0的牛顿迭代格式；(2)证明此迭代格式是线性收敛的

11、。(牛顿迭代的构造与收敛速度)8设计一个计算二的牛顿迭代法，且不用除法(其中0)。(牛顿迭代法)Ja9用牛顿法求Jn亍的近似值，取XO=K)或11为初始值，计算过程保存4位小数。(牛顿迭代的构造)10设,是非线性方程/(x)=0的m重根，试证明：迭代法()具有至少2阶的收敛速度。(收敛速度证明)11设/是非线性方程f(x)=O的m重根，证明：用牛顿迭代法求/只是线性收敛。(收敛速度证明)12设0()=,O(X)在。附近有直到P阶的连续导数，且p()=-晨/二。，试证：迭代法Xe=0(X)在。附近是P阶收敛的。(收敛速度证明)第九章常微分方程数值解习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和

12、稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1用改良的欧拉公式，求以下微分方程f2XIy=yy0Jy（0）=的数值解（取步长/2=0.2）,并与精确解作比拟。（改良的尤拉公式的应用）y+y=12用四阶龙格一库塔法求解初值问题/,取=0.2,求X=O.2,0.4时的数值解.要求写出由IMo）=O小七，先直接计算），“+1的迭代公式，计算过程保存3位小数。（龙格一库塔方法的应用）y+y=0，2万丫3用梯形方法解初值问题J,证明其近似解为此=,并证明当0时，它收敛Iy（O）=I（2+/口于原初值问题的准确解y=e-x。Iy=Toy4对于初值问题,证明当a0.2时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公式的稳定性IMo）=I讨论）5证明梯形公式y向=以+刍/（匕,以）+/*旬，加）无条件稳定。（稳定性讨论）6设有常微分方程的初值问题试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式X）=%+=（+-1）+A-1）使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算）7初值问题V=2xJ（O）=0y（0.1）=0.01取步长=0.1,利用阿当姆斯公式y/=n+g（3。一-），求此微分方程在0，10上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）