5.4.1正弦函数余弦函数的图象3题型分类.docx

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1、5.4.1正弦函数、余弦函数的图象3题型分类一、正弦函数的图象1 .正弦曲线正弦函数y=sinx,xR的图象叫做正弦曲线.2 .正弦函数图象的画法几何法利用单位圆画出y=siu,0,2网的图象；将图象不断向左、向右平移(每次移动2兀个单位长度).(2)“五点法”画出正弦曲线在0,2兀上的图象的五个关键点(0,0),&1),(兀，0),停-1),(2,0),用光滑的曲线连接；将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2兀个单位长度).二、余弦函数的图象(1)余弦曲线余弦函数y=cosx,xR的图象叫做余弦曲线.(2)余弦函数图象的画法要得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象向左平移爹个单位

2、长度即可，这是由于CoSX=SlnIX十5)用“五点法”画余弦曲线=cosx在0,2兀上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1),(5,0),(,-1),(y,0),(2,1),再用光滑的曲线连接.将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2个单位长度).念饵题秋籍用“五点法作三角函数的图象用“五点法”画函数y=Asinx+b(A0)或y=Acosx+/AWO)在0,2兀上简图的步骤(1洌表X02322sinx（或CoSX）0（或1）1（或0）0（或一1）-1（或0）0（或1）ybA+Z?仇或-A+8b（或A+b）（或b）-A+b）（或b）（或A+3（2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：

3、（O,y）,传，y）,（,），），侍J，（2,必这里的y是通过函数式计算得到的.（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接.题型1:用“五点法作三角函数的图象11. （2023全国高一专题练习）用“五点法”作y=2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（）A八兀3个n兀兀3A.0,一9兀,-7C,2TCB.0,一,一,7C,7C22424C.0,2,3,4D.0,6322【答案】A分析根据=2sinX与y=sinX的关系进行判断即可.【详解】y=2sinx弓），=sinx对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标0,1,2,故选：A.12. （2023上高一课

4、时练习）用“五点法”作y=cosx+g,x-,的图象.【答案】图象见解析【分析】按列表、描点、连线的顺序完成作图.【详解】（I）取值列表：X-202COSX-I0I0-11COSX+-22_1_232_1_22（2）描点连线，如图所示.如二213. （2023全国高一课堂例题）（1）作出函数y=2sinx（0x2r）的简图;（2）作出函数），=I-COSx（Ox2r）的简图.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】根据列表描点连线作图即可.【详解】列表：XO2322sinxO1O-1O2sinxO2O-2O描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数y=2sinx（0x2兀）的图象，如图所示

5、:（2）列表:XO23T2COSXO1-1O1I-COSxO121O描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数丁=1-coSX（Ox2）的图象，如图所示:14. （2023全国高三专题练习）用“五点法”作y=2cos2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（）aa3_a3A.0,一,九,2B.0,一,一,无22424C.0,2,3,4D.0,1,6323【答案】B【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解.【详解】由“五点法”作图知：令2x=0,p冗，-,2,解得“4g,当,即为五个关键点的横坐标.424故选：B.15. （2023全国高一课堂例题）用“五点法”画出下列函数的简图：（l）y=l+

6、sinx,x,2;（2）y=2cosx,X0,2,【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）（2）先列表，再描点，然后连线即可【详解】（1）按五个关键点列表：X023T2sinJf010-101+sinx12101描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图,y=lsinxO-1，、3Tz-oirtV2H2*y=snx（2）按五个关键点列表:XO3T2COSX1O-1O12cos%2O-2O2描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图.%，方 2Xy=2cosx2IyO一、I.1-2-16. （2023高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图:(I)J

7、=Cosx-I,x-r,；(2)y = sinX , x 32,T(3)y=inx,x(),2.【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解【分析】（1）（2）（3）在坐标系中描出相应的五点，在用平滑的曲线连起来.【详解】（1）按五个关键点列表X-2O不7COSX-1O1O1cosx-1-2-1O-1-2描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图X2023冗2Sinx-1010-1(3)按五个关键点列表X02322SinX010-1O-sinx0-1010描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图17. (2023上湖北高一湖北省天门中学校联考阶段练习)已知函数/(x)=2sin(3x-?请用五点作图

8、法画出函数力在,I兀上的图象；(先列表，后画图)(2)设尸(X)=(x)卜3m,r,当机0时，试讨论函数F(X)零点情况.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】(1)根据五点作图法列表画图；(2)将尸(力=Ifa)I-3，”的零点个数转化为y=f()与y=3”交点个数，然后结合图象分析即可.【详解】(1)列表如下:3x-3O22)T511TXO75Ti491TT2Tf(x)-3O2O2-3f4(2)令尸(力=0,则If(X)I=3，由机0,则X结合f(力的图象研究y=力与y=3，”公共点个数.(i) l3w3,即有4个公共点;(ii) 3=6，即/M=J,有5个公共点：(iii) 3

9、3,2,即gvwIog32,无公共点.综上，0v2g或gMg32,有4个零点；ZW=；,有5个零点；m二log，有2个零点；mlog32,无零点.18.(2023全国高三专题练习)函数/(x)=SinX+2卜inx,用五点作图法画出函数/(x)在,2上的图象;(先列表，再画图)【答案】答案见解析【分析】先写出分段函数，列出表格，从而画出函数图象.【详解】/W =/(x) = sinx+2sinx 0 30103sinA0x-sinx,2X023兀22sinx010-10/(x)=sinx+2sinx03010按五个关键点列表:18.(2023高一课时练习)用五点法作下列函数的大致图象.(l)y

10、=2-sinx,x0,2;【答案】（1）图象见解析（2）图象见解析【分析】（1）根据五点作图,先列表格,再坐标系中标记点,再用平滑的曲线连接即可;（2）根据五点作图,先列表格,再坐标系中标记点,再用平滑的曲线连接即可.【详解】（1）解油题知y=2-sin”,0,2句,列表如下:XO23T2y21232X63564TllVX+6O23T2y1O1O1根据表格画出图象如下:O-1-2一31 2 ：3 ：4 ：5 ：6 ：7【答案】图象见解析【分析】根据五点法作图的方法画出图象即可.【详解】当xQ6时，m9+g等列表如下:X015_241126X+3662322136y120-201111.(202

11、3全国高三专题练习)已知函数/(x)=2sin(2x-XeR.在用“五点法”作函数f(x)的图象时，列表如下：C兀Zx4X小)完成上述表格，并在坐标系中画出函数y=f()在区间0,可上的图象;【答案】填表见解析；作图见解析【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）.【详解】由题意列出以下表格：FTt 应 3 匹 r 1：-2- -r 3-2 1 1-20123-2C2x4402327TX083T5TlitT小）-2020-2-0函数图象如图所示:彩他题淞招）用图象变换法作函数图象用图象变换法作函数图象对于某些函数的图象，如），=SinX,y=sinx,

12、y=sinx等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图.把y=sinx的图象在X轴上方的保留，在X轴下方的图象沿X轴翻折到X轴上方，就可得y=ISinLrl的图象.（2）把y=sinx的图象在），轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y=sinx的图象.题型2:用图象变换法作函数图象29. （2023下高一课时练习）当xe-2;r,2司时，作出下列函数的图象，把这些图象与y=sinx的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1） y=-sinxi（2） y=sin;（3） y=sinx.【答案】答案见解析【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解

13、出；（2）作出图象，根据图象观察即可解出；（3）作出图象，根据图象观察即可解出.【详解】（I）该图象与y=sinx的图象关于X轴对称，故将y=sinx的图象作关于X轴对称的图象即可得到y=_SinX的图象.sinx,一2乃x-,Ox,/八,C将y=sinx的图象在X轴上方部分保持不变，下半部分作关于-sinX,-X0,XTsinM的图象.中将一门的图象Q轴右边部分保持不变，并将其作关于y轴对称的图形，即可得到y=smH的图象.30. （2023全国高三专题练习）作出函数y=cosdrR的图象【答案】见解析【分析】去绝对值后，结合函数y=Cosx的图象，即可画出函数的图象.TtCJTrA.COS

14、X,XE+2,-+2【详解】y = cosx = keZ,-cos x,x- + 2-+222作出函数y=cosx图象后，将X轴下方的部分沿X轴翻折到轴上方，即为函数y=sM的图象，如图31. （2023上高一课前预习）作函数）=Sin卜的图象.【答案】图象见解析.【分析】根据诱导公式化简可得函数解析式，根据余弦函数图象性质，可画出函数图象.【详解】J=SinL + yJ = cosxCOSX- + 2k xR + 2k 兀,k Z-COSJC7t A .34 C . - + 2kx + 2k, & e Z故y=IcosxI的图象实际就是y=cosx的图象在X轴下方的部分翻折到X轴上方后得到的

15、图象，如图y=sinW与y=sinx的图象关于)，轴对称：y=cos()与y=cosx的图象相同；y二sin目与y=Sin(T)的图象关于轴对称；y=cosx与y=cos()的图象关于)，轴对称；其中正确命题的序号是【答案】【分析】根据函数图象变换以及函数奇偶性的知识对四个命题逐一分析，即得.【详解】对于，y=shk为偶函数，它的图象是由y=sinx图象保留0的部分，然后关于y轴对称得到XVO部分所得，所以y=sm与y=sin的图象不关于y轴对称，故错误；对于，y=cos(-x)=cosx,y=s=cosx,故它们图象相同，故正确；对于，y=MnX函数值都是非负数，y=sin(-x)函数值有正

16、有负，所以它们图象不关于5轴对称，故错误；对于，cos(-x)=cosx,故它们图象关于y轴对称，同时也重合，故正确.综上所述，正确命题的序号是.故答案为：.彩得题淞招(=)正弦函数、余弦函数图象的应用1、三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数.切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.TT(3)注意“1”的应用：1=sin2+cos2=tan4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到Ei的形式，需对Z进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.2、三角函数式的化简注意：利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切

17、化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用.题型3:正弦函数、余弦函数图象的应用1 231. (2023上广东茂名高一统考期末)已知aeR,则“cosa=-万是“a=1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当CoSa=-T时，a=三+2E或与+2E,ZZ,当a=年时，COSa=一万，所以“COSa=T”是a=与的必要不充分条件.故选：B.32. (2023上高一课时练习)函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象在0,2上的交点个数为.

18、【答案】2【分析】作出两个函数在0,2上的图象，根据图象可得结果.【详解】作出函数y=2sinx与y=cosx在0,2上的图象,如图所示:由图可知，两函数图象在0,2上有2个交点.故答案为：233. (2023全国高三专题练习)函数y=-CoSMXO)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()C.(OJ)D.(2,l)【答案】B【分析】五点法作图，根据图象分析即可.【详解】用五点法间i出函数COSMXo)的部分图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(,l)34. (2023下上海嘉定高一校考期中)不等式8sxg(xr,)的解集为.画出y=cosx(xt-,)的图象，如图所示,1-2k-+

19、k-+-322o,且攵eZ,从而得出0的范围.C2k00,ULiT兀兀C兀所以ox2c，333因为函数“可在区间(,2)内没有零点，,lot119L所以C,解得g+R2+g且AfZ,2ty-y(+l)1“2k-+-+-32242JJ，解得中心5，0-+-3332因为AeZ,故2=-1或A=0,当k=T时，0O)在区间(U)恰有两个零点,则0的取值范围是.【答案】l【分析】根据题意，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】由XW(O,),得s+(方,+),因为函数f(x)=Sin(S+?()在区间(0,兀)恰有两个零点，所以2v3+3兀，解得g,所以”的取值范围是国.U抬g二(58故答案为：一、单选

20、题1. (2023上上海嘉定高三上海市嘉定区第一中学校考期中)己知方程SinX=相，x(0,2).若同0的解集为()SinxA.(-,-2)u(0,2)vj(,5B.(-,-2).(,5C.5,)J(2,0)J(2,)D.5,2)j(,5【答案】C【分析】根据偶函数性质可确定“X)在卜5,5内的正负；结合y=Sinx在卜5,5内的正负可确定不等式的解集.【详解】x)为定义在卜5,5上的偶函数，/(x)图象关于丁轴对称，.当-5,-2)U5时,/(x)0;当x(-2,2)时，f(x)。，lRoJ0SInXCo当x-5,-)(2,)时，当x(-2,0)时，usnx0snxO的解集为-5,-)J(-

21、2,0)(2,).Sinx故选：C.3. (2023上安徽合肥高一校联考期末)函数/(x)=sinx,g(x)=cosx的图象在区间-2,的交点个数为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.【详解】分别作出/(x)=SinK,g(x)=cosx在区间-2兀兀上的图象，如图所示，由图象可知：/(x)=SinA:,g(x)=cosx的图象在区间-2,的交点个数为3.故选：A.、2sin-,x24. (2023下浙江绍兴高一绍兴市稽山中学校考期中)已知函数/(X)=2,则方程/(x-2),x2x)=log3(x+2)的根的个数是()A.9B.

22、8C.7D.6【答案】A【分析】根据函数解析式，结合正弦型函数的性质，运用数形结合思想进行判断即可.【详解】当2vx4时;/(x)=/(x-2)=2si11-=-2sin当4vx6时，/()=f(x-2)=-2sin=2sin当6-2x7,所以函数丁=力J=1国3(1+2)(2工8)在同一直角坐标系内的图象如下图：方程/(x)=log3(x+2)的根的个数就是丁=/(力=1生3(1+2)(-2工0,g0,0O2)图象上的一个最高点是(2,),由这个最高点到相邻的最低点图象与X轴的交点为(6,0),则/=()csinx+z)d国心用【答案】C【分析】由函数的最大值可求得A的值，利用题中信息求出函

23、数，(力的最小正周期，可求出”的值，再由/(2)=结合#的取值范围可求得。的值，由此可得出函数/(力的解析式.【详解】因为A=(x)ma=,且函数力最高点(2,五)到相邻的最低点图象与X轴的交点为(6,0),所以，函数“力的最小正周期为7=4?(62)=16,则3=与=,所以，/(X)=应Sin(+0由题意可得2)=7sin(：+e)=应，可得sin(：+*)=1,因为0Q2t,则7W+7轴对称C.向右平移今个单位长度，得到g。)的图象D.向左平移半个单位长度，得到g(x)的图象【答案】ACD【分析】结合诱导公式变形，利用函数图象平移规律分别判断选择支.【详解】/(x)=Sin(X+/)=CO

24、SX,/()(1g(x)=coslX-I=CosI-XI=Sinx,选项A,将g(x)=sinx图象向左移W个单位可以得到f(x)=8sx的图象，故y=cosx与y=sinx的图象形状相同，位置不同，故A选项正确；选项B,由/(_g)=COS()=0,旦g()=sing=,故/(-会门中，所以N=COSX与y=sinx的图象不关于y轴对称，故B选项错误；选项C,因为COS(X-3=cosC-X)=Sin%,所以把余弦曲线y=COSX向右平移1个单位长度，得到正弦曲线y=Sinx,故C选项正确；选项D,因为COS(x+与)=Cos一)=COS(I-X)=SinX,把余弦曲线y=8sx向左平移多个

25、单位长度，得到正弦曲线y=sinx,故D选项正确.故选：ACD.7. (2023全国高三专题练习)函数力=SinX+2卜m可，x0,2的图象与直线y=k的交点个数可能是()A.1B.2C.4D.6【答案】ABC【分析】作出函数y=/(x)、y=%的图象，即可得出结论.“、,1f3sinx,0x【详解】由题意可得力=SinX+2卜inM=fig兀2作出函数=/(力、)，=%的图象如下图所示：当上0或3时，直线y=上与函数X)的图象没有交点；当2=3时，直线y=%与函数/(X)的图象只有一个交点;当IvA3时，直线y=Z与函数/（x）的图象有两个交点;当k=1或O时，直线y=左与函数/G）的图象有

26、三个交点：当OvZcl时，直线y=2与函数/（）的图象有四个交点.故选：ABC.三、填空题8. （2023上高一课时练习）已知函数/（力=SinX+2卜in,0,2的图象与直线y=也有且仅有两个不同的交点，则实数A的取值范围是.【答案】（1,3）【分析】将函数/（“叮成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数力和函数），=左图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k的取值范围./、l13sinx,x0,）【详解】由题意，得/x）=SinX+2卜inR=.；，l-smx,x,2画出函数的图象，如下图所示：由图象可知，当无（1,3）时，函数f（x）的图象与直线y=A有且仅有两个不同的交

27、点.故答案为：（1,3）9. （2023上高一课时练习）函数y=sinx,x0,2的图像与直线），=-T的交点有个.【答案】2【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合判断交点个数.【详解】作出函数y=sinx,x40,2可的图像与直线y=-,如图所示：所以交点个数为2.故答案为：210. （2023全国高一课堂例题）不等式sin（2x+SW的解集为.【答案】x+Ex（+E,%ez【分析】可先求出Sina0,2的解集，在将2x+1代替解出x,则不等式sin（2x+W的解集可求.【详解】画出Xi0,2加时，y=sinx的图象.令Sina=Law0,2,解得二=2或=2266又y=sinx的周期为2

28、,所以Sina?1的解集为J+2E+2E,kZ：.2I66J用2x+5代替解出X.+k1)的图象与y=shu(0)关于原点对称的函数的图象交点个数即可，由此作出相应函数图象，数形结合，可得答案.【详解】由题意y=f()图象上关于原点。对称的点的个数，只需观察y=Rg(X-I)I(K1)的图象与y=shu()关于原点对称的函数的图象交点个数即可，作出函数y=ig(X-I)Ia1)和y=siO)的图象如图：由上图可知：两个图象交点个数为4个，即函数但则y=()图象上关于原点对称的点共4对.sinx,xO故答案为：4.四、解答题12. (2023全国高一随堂练习)在同一平面直角坐标系内画出正弦函数y

29、=Sinx和余弦函数y=cosx在区间0,2上的图象，并回答下列问题.(1)写出满足SinX=CoSX的X的值；(2)写出满足SinAcos%的工的取值范围;(3)写出满足SinXcosx,SinXcosx的X值的集合.【答案】(IA=弓或X=手44钻)44(3)(0,J)D(f,2)(4)详见解析【分析】在同一坐标系中画出两个函数在0,2上的图象，然后找出满足条件的区间，再根据函数的周期性写出满足条件的集合.【详解】(1)两函数在同一坐标系中0,2的图象如下：由图象知，在0,2内，当=；或X=寸时，Sinx=Cosx.(2)由图象知，在0,2内，当?cosx,即X的取值范围是邑当.1.444

30、4(3)由图象知，在0,2兀内，当0x或vx2冗时，sinXcosx,则所求集合为卜|2E+：xv2E+4,我z；若SinXVCOSx,则所求集合为x2Ex2&+或2k+弓x2A+2,Az.13. (2023全国高一随堂练习)画出下列函数在区间0,2上的图象：(l)y=2+sinx；(2)y=sinX-2；(3)y=3sinx.（2）图象见解析（3）图象见解析【分析】利用五点法即可作出函数的图象【详解】（1）按五个关键点列表：X02322sinJv010-102+sinx23212描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示（2）按五个关键点列表：XO23T2sinxO1O-1OSinX-2-2

31、-1-2-3-2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示（3）按五个关键点列表：XO2322sinxO1O-1O3sinxO3O-3O描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示14. （2023全国高三专题练习）已知函数f（x）=-2COSX+3.完成下面表格，并用“五点法”作函数“可在0,2汨上的简图:XO232/3【分析】根据“五点法”列表，描点作图即可得解.【详解】补充完整的表格如下：XO2322/(x)=-2cosx+313531描点、连线得函数/U)=-2cosx+3(0x2)的图象如图所示，15. (2023全国高三专题练习)画出函数y=；SinX+；卜inx的简图.【答案】图象见解析【分析】分类讨论确定分段函数解析式，结合正弦函数图象可作出函数图象.详解y=inx+sin=sinx,2kx+2k,、(kZ),0,-+2kx2ky=gsinX+gsinx的图象如卜图所示,16. (2023上高一课时练习)用“五点法”作出下列函数的简图.(l)y=2sinx,x0,2：.(5(2)y=snlx+yI,-y,y.【答案】(1)图象见解析(2)图象见解析【分析】根据五点作图法，先列表，再描点连线即可得到图象.【详解】(1)列表：XO23T22sinXO2O-2O描点、连线、绘图，如图所示.(2)列表：x+-3O23元T2X362T765Tsi+iO1O-1O描点连线如图