6.1平面向量的概念.docx

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1、6.1 平面向量的概念【解析版】目录一、题型一：平面向量的表示1二、题型二：向量的模3三、题型三：零向量与单位向量5四、题型四：相等向量与共线向量6一、题型一：平面向量的表示1 .选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量.终点A在起点。正东方向3m处；终点B在起点。正西方向3m处：终点C在起点。东北方向4m处；（4）终点。在起点。西南方向2m处.【答案】（1）答案见解析；答案见解析；答案见解析；答案见解析.【分析】（1）从。向东作长度为3m的有向线段近；（2）从。向西作长度为3m的有向线段而；（3）从。点起向北偏东45。方向作长度为4m的有向线段反；（4）从。点起向南偏西45。方向作长度为2m

2、的有向线段历.【详解】（1）从。向东作长度为3m的有向线段而：（2）从。向西作长度为3m的有向线段而：（3）从。点起向北偏东45。方向作长度为4m的有向线段反：（4）从。点起向南偏西45。方向作长度为2m的有向线段而：2 .在正JWC中，AB与8C的夹角等于.【答案】120【分析】根据向量夹角定义直接得到答案.【详解】在正一ABC中，A8与BC的夹角等于180。-60。=120。.故答案为：120。3 .下列各量中，向量有：.（填写序号）浓度；年龄；风力；面积；位移；加速度.【答案】【分析】根据向量的概念判断即可.【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.故答案为：.4

3、.下列说法正确的是()A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定D.有向线段向和有向线段MM的长度相等【答案】D【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.【详解】A：由向量即有大小(模长)又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段痴和有向线段MM的长度相等，故D对.故选：D5 .在平面直角坐标系Xoy中有三点A(1,O),B(-l,2),C(-2,2).请用有向线段分别表示由A到8,由8到G由。到A的位

4、移.【答案】答案见详解【分析】求A到B的位移即向量A8,同理求出向量8C,CA即可.【详解】如图，有向线段A4表示A到8的位移，有向线段BC表示B到。的位移，有向线段CA表示。到A的位移.6 .某人从点A出发向西走4个单位长度到达点8,然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C最后又向东走4个单位长度到达点江试分别作出向量A8,8C和C力.【答案】答案见解析.【分析】根据题意，在平面内任取一点为A,按照要求进行绘制即可.【详解】根据题意，在平面内任取一点为A,按照题意要求方向，作线段IABI=4,忸Cl=6,cq=4,则向量48,BC和CQ如下所示:二、题型二：向量的模7 .下列结论中，正确的

5、是零向量只有大小没有方向对任一向量，0总是成立的网=l41,司与线段BA的长度不相等.【答案】【分析】根据向量的概念，逐项判断即可得解.【详解】中，既有大小又有方向的量叫向量，J大小与方向是向量的两个要素，不正确；中，零向量的模为0,不正确；中，由于AB与BA方向相反大小相等，正确；中，A6与线段84的长度相等，不正确故答案为：.8 .已知平面向量,。的夹角为120。，且Ial=2,W=5,-训(aR)的最小值是.【答案】3【分析】求向量的模即求其模的平方，进而转为二次函数求最值即得.【详解】因为平面向量4,力的夹角为120。，且同=2,W=5,+ 3,Va-b=d2+A2|/?|2-22同W

6、eOS120o=4+252+10=25所以当之=/时，|。一九In=6故答案为：39 .已知,q=1,卜=2,若ZABC=90。，则IBcl=.【答案】3【分析】直接由勾股定理求值即可.【详解】由勾股定理可知，bc=7ac2-b2=3,即W4=6故答案为：3.10 .已知圆。的周长是2,AB是圆O的直径，C是圆周上一点，ZBAC=CD1AB6于点o,则=.【答案】B2【分析】根据题设可得圆。的半径为1，结合已知条件及含E的直角三角形的性质即可O求同JT【详解】由题设，圆。的半径为1,又NBAC二:,COLA5,如下图示：6在RtC8中，NDoC=2NBAC=%,OC=I,所以CD=.32故答案

7、为：B211 .下列命题正确的个数是（）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0.A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0,所以零向量的长度为0,故正确.故选：B12 .若向量,。满足=6,Ibl=I2,求|+6|的最大值及最小值.【分析】根

8、据向量的三角不等式即可求解.【详解】因为=6,2|=12,所以+6+b=18,当且仅当向量0,b方向相同时取得等号；W+R-%=6,当且仅当向量4,I方向相反时取得等号.所以+b的最大值是18,最小值是6.三、题型三：零向量与单位向量13 .已知平面内两点尸、Q的坐标分别为(2,4)、(2,1),则PQ的单位向量为=43【答案】(/一*【分析】利用向量P。的单位向量的计算公式。=篇，即可求解.【详解】由题意，两点Al的坐标分别为(-2,4),坐1),可得向量PQ=(4,-3),所以向量PO的单位向量 =GK =士当= = (W42+(-3)25 5故答案为：(g,-【点睛】本题主要考查了单位向

9、量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14 .下列说法正确的是()A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0【答案】C【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.【详解】对于A,零向量的模等于零，故A错误；对于B,零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；对于C,根据单位向量的定义可C知正确：对于D,零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.故选：C.15 .给出下列命题：若忖=0,则10；若=0,则P=0；1-。1=忖，其中正确

10、命题的序号是一【分析】根据相关知识，逐项分析即可.【详解】对于若何=0,则=0,而不是=0,故错误；对于若4=0,则p=0,正确；对于I-。I=W正确，故填.【点睛】本题主要考查了零向量，向量的模，相反向量，属于中档题.16 .下列说法正确的是（）A.零向量没有大小，没有方向B.零向量是唯一没有方向的向量C.零向量的长度为0D.任意两个单位向量方向相同【答案】C【分析】根据零向量和单位向量的概念求解.【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0,方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C.17 .下列说法正确的是（）A.单位向量均相等B.单位向量G=IC.零向量与任意向量平行D.

11、若向量凡6满足Ial=Ib则【答案】C【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量Iel=I.否定结论；对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：*b的方向可以是任意的.否定结论.【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量同=1.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确：对于D：若向量6满足IaI=Sl,但是b的方向可以是任意的.故选：C四、题型四：相等向量与共线向量18 .在四边形ABCo中，若43/CO,且同卜IC4,则四边形ABeo的形状是.【答案】梯形【分析】利用向量关系得出对边平行且边长不等，进而得出答案.【详解】在四边形

12、48C。中，因为C方，所以AB/CQ,又卜8卜|。|,所以四边形ABeZ）的形状是梯形.故答案为：梯形19 .关于空间向量的命题：方向不同的两个向量不可能是共线向量；长度相等，方向相同的向量是相等向量；平行且模相等的两个向量是相等向量；若Gwb，则IalWW.其中所有真命题的序号有.【答案】【分析】根据平面向量的相关概念逐项分析判断.【详解】对于：由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故错误；对于：长度相等，方向相同的向量是相等向量，故正确；对于：平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故错误；对于：若b,可能只是方向不相同，但模长相等，故错误.故答案为：.2

13、0 .下列四个说法：若同=0,则公0；若同=W，则&=力或=-b;若db,则同=卜卜若b,bile，则Wc其中错误的是（填序号）.【答案】【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确.【详解】由零向量的定义可知，正确；同二W时，不知道两个向量的方向，不能得到G=b或=-方，错误；两个向量共线，与模是否相等无关，错误；当=0时，满足4石，bile，但不能得到匕，错误.故答案为：21 .在AABC中，。为边AC上靠近点A的一个三等分点，P为线段5。上的动点，且AP=nAB+nACm0,w0）,则工+的最小值为.mn【分析】先求得加、的等量关系，然后利用基

14、本不等式即可求得答案.【详解】依题意,机0,n0,AP=mAB+nAC=mAB+3nADB、P、。三点共线，.zw+3=1,jl=fli3n）=442=423,mnmn）mnymn当且仅当，=3时，即加=6=避二1时等号成立.mn2故答案为：4+2-73.22 .下列命题是真命题的是.（填序号）若4,B,C,。在一条直线上，则A8与CO是共线向量；若A,B,C,。不在一条直线上，则48与Co不是共线向量；向量48与Co是共线向量，则4,B,C,。四点必在一条直线上；向量48与AC是共线向量，则A,B,C三点必在一条直线上.【答案】【分析】向量为自由向量，共线向量所在的直线不一定重合，也可能平行

15、.【详解】为真命题，A,B,C,。在一条直线上，向量A88的方向相同或相反，因此A8与Co是共线向量；为假命题，4B,C,。不在一条直线上，则ABCO的方向不确定，不能判断A8与Co是否为共线向量；为假命题，因为ABCO两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；为真命题，因为AEAC两个向量所在的直线有公共点4且A8与AC是共线向量，所以三点共线.故答案为：23 .如图，在正六边形ABC中，点。为其中点，则下列判断错误的是（）A.AB=OCB.AB/DECkq=W4D.AD=FC【答案】D【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A,由正六边形的性质可

16、得四边形OWC为平行四边形，故AB=OC，故A正确.对于B,因为故48OE，故B正确.对于C,由正六边形的性质可得IAq=忸E,故卜4=,耳，故C正确.对于D,因为4）,R7交于0,故4。=产C不成立，故D错误，故选：D.24 .如图，已知向量，b和点P,以点P为起点，分别画有向线段表示下列向量：（l）的相等向量；（2昉的相反向量.【答案】（1）画图见解析（2）画图见解析【分析】（1）根据相等向量的定义画图即可；（2）根据相反向量的定义画图即可.【详解】（1）如图，作有向线段PM,使PM与。同向且长度相等，则PM即为的相等向量.（2）如图，作有向线段PN，使PN与b反向且长度相等，则PN即为b

17、的相反向量.25 .下列命题正确的是（）A.零向量没有方向B.若同=M，则d=bC.若a=b，b=c，贝Ji=dD.若。b,hC,则4c【答案】C【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断;C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；对于C项：因为4=方，b-c所以可得：a=c,故C项正确；对于D项：若/；=（）,则不共线的,Ci也有。0,Oc,故D项错误.故选：C.26 .已知命题P：在ZkABC中，若COSA=8sB,则A=B;命题夕响量与向量力相等的充要条件是14=W且比下列四个命题是真命题的是（）A.”人（一g）B.（-1p）（-1夕）C.p）vqD.PAq【答案】A【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.【详解】命题：在8C中，若8s4=cos8,由于余弦函数在（U）上单调递减，则A=Bf故命题为真命题；命题9：向量与向量力相等的充要条件是向量4与向量b大小相等，方向相同，则命题是4假命题.则八(F)为真命题.故选：A