7.2.3三角函数的诱导公式.docx

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1、7.2.3三角函数的诱导公式【考点梳理】考点一：公式一1 .角+与角a的终边关于原点对称.如图所示.2 .公式：sin(ot)=sina1cos()=cosa,tan()=tan.考点二：公式三1 .角一。与角。的终边关于工轴对称.如图所示.2 .公式：sin(a)=Sina,cos(-a)=cos6ttan(a)=tana.考点三：公式四1 .角-与角的终边关于上轴对称.如图所示.2 .公式：sin()=sina,cos(-a)=cosa,tan(a)=tana.考点四：公式五1 .角，一a与角Q的终边关于直线口对称，如图所示.2 .公式：考点五：公式六1.公式：Sin住+ct)=Cosa,

2、cosjaj=sina.2.公式五与公式六中角的联系+a=一(今一。大重点：诱导公式规律总结诱导公式作用公式一将角转化为02元之间的角求值公式二将02元内的角转化为0五之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0方之间的角求值这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称-致，符号则是将。看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.。看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上。可以是任意角.3 .用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最

3、少.(2)对于冗a和a这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.【题型归纳】题型一：诱导公式一的应用1 .(2023下辽宁葫芦岛高一统考期末)Sin半的值为()4A.一3B.BC.一立D,也2222【答案】D【分析】利用诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解.【详解】Sin与=sin(M+：)=sin：=#.故选：D.72. (2023上陕西西安高一统考期末)下列函数值：Sin(TOo0。)；(2)s(-2200o)；tan(-10)；(4)sin-,其结果为负值的是()A.B.C.D.(4)【答案】C【分析】利用诱导公式及各象限内三角函数的正负判断即可.【详解】对于：

4、sin(-1000o)=sin(-3360o+80o)=sin800,对于：cos(-2200o)=cos(-73600+3200)=cos320o0,对于：tan(-10)=tan-4+(4-10)J=tan(4-10),因为4-10,所以tan(4-10)0,即tan(-10)0.故选：C题型二，诱导公式二、三、四应用3. (2023上高一课时练习)求下列各式的值.,、254z154、(l)cosFtan()；34(2)sin810o+tan7650-s360.3【答案】:(2)1【分析】由诱导公式化简后求解.【详解】(1)cos+tan(-)=cos-+tan=+1=.343422(2)

5、sin810+tan7650-cos3600=sin90o+tan45o-cos00=1+1-1=1.4. (2023下广东佛山高校联考阶段练习)cos(-1860o)=()A13c1d32222【答案】C【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数计算作答.【详解】cos(-1860o)=COS(-10I80-60o)=cos(-60o)=cos60=.故选：C5. (2023下江西南昌高一校联考阶段练习)已知角。的终边在第二象限，且与单位圆交点的横坐标为，将角。的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转180。，得到角夕的终边，则sin=()_1r1C2近n22A.-DC-U13333【答案】C【分析

6、】依题意CoSa=-：，根据siMa+cos?。=1可求出Sina的值，再通过诱导公式Sin(18。+)=ina便可求出Sin夕的值.【详解】依题意COSa=-g,则Sina=JI-COS%=，则sin/?=sin(180+)=-Sina=-故选：C.6. (2023全国高一随堂练习)求下列三角函数值:(I)COSI35。；(2) sinllCOS(Tll0。)；(4) Sin16(5) sin870。；,、IE(6) cos；4(7)sin(-210o);【答案】一43- 23一 23- 22)3)4)(57)【分析】根据三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值，计算即可得出答案.【详解】

7、(1)cos1350=cos(180-45)=-cos45=-sin=Si品立32cos(-1110o)=cos(-3360-30)=cos(-30o)=cos30o=当(4)Sin16sinf-6 + y(5)sin 870o = sin(2 360o +150o) = Sinl 50。= g(6)1 lcos=4cos2+(7)in(-210) = sin (-360o + 150o) = sin 150o = (8)COS83兀(1 / I cos -14 + - =Cos-题型三:：诱导公式五、六应用7. （2023贵州遵义统考模拟预测）若cos（ + a-ar 2231 C.一3D.

8、【答案】【分析】以%。为整体，结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：sinl-l = sin + a 4 +a42故选：C.8. （2023上四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）己知sin（e+J=5,则COS（夕+年J=（A.1D.2【答案】D【分析】以e+B为整体，利用诱导公式运算求解.O【详解】由题意可得：COS故选：D.9. (2023上重庆长寿高一统考期末)已知/(0)=化简/();若f()=更0,且。为第四象限角，求2si112+3sincos2的值.【答案】/()=cos【分析】(1)根据诱导公式化简可得.(2)由/()=cOSa和同角三角函数关系得到COSa=巫,s

9、in。=-%1,代入可得.cos (-cosa)(-sina)-cosa cosa (Tana)= cosasin+acos(+)sin(-)详解(1)/OUsinacos(2-)tan(-)(2)由题知，COSa=因为第四象限角,则 2sin2 + 3sinacosa = 2 4109H)题型四：利用诱导公式证明恒等式10. (2021高一课时练习)若角的终边落在直线V=X上，则Sin愕-j+cos5+j=.【答案】0或-&【分析】化简得到Sin仔-+COS(I)=-cos-Sin,考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.【详解】因为角。的终边落在直线y=上，所以角。为第一或第三象限

10、角,-CoSa-Sina ,当角为第一象限角时，cosa=sina=-cosa-sina=；222当角为第三象限角时，COSa=Sina=-也，-cosa-sina=+=222故答案为：6或-应.tan(2-)sin(-2%-)cos(6-)_11. (2021上高一课时练习)(1)求证：一玩一；一豆二sn(r+)cos(+)22_ w + 3W/+ 1./5;T、C,13%、sn(+)+3cos()(2)设tan( + ) = W, 7求证一.,20、z221、sn()-cos(+y-)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)(2)应用诱导公式化简等式中结构兔杂的一侧，即可

11、证结论.tan(-)sin(-)cos(-)(一tana)(-Sina)CoSasin2asin2a【详解】(1)左边=(,re(-Vic3x1tvc产cc7-Cosasiisi112-(z)cos2-(a)sn-(a)lcos-(a)-sn(a)cos(a)222222=一也里=Tana=右边，所以原等式成立.cosasin + ( + a) + 3cos(a + ) - 3%(2)方法 L 左边=7-7-osin4-(a + )-cos2- + (。+ ).,8万、C，8乃、-sn(-+a)-3cos(a+).8,8不-sn(a+)-cos(a+)tan(a+y)+3/n+31一而=77=

12、右边，ian(a+)+1m+l7sin(y a) + 3cos(a + y) tan(cr + y) + 3 sin(, + y)+ cos( + ) tan(a + y) +1h右边，等式所以原等式成立.O7r-方法2：由tan(a+)=w,得tan(a+-)=m，77sin2%+(+a)+3cos(a+)-2所以，等式左边=7sin2乃+-(a+)-cos2+(a+y)成立.12.（2021全国高一专题练习）求证:sin(2-)cos(r+a)cos-tana.cos(-)sin(3-)sin(-+a2【答案】证明见解析.【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.=Tan

13、a=右边,详解左边二平Z智*a(-cos6r)smasnacosa团等式成立.题型五：诱导公式的综合应用（化简求值）问题13.（2023上江苏苏州高一）已知sin(-)若求tan。的值；（2）若噌-求信+可的值.答案】2五【分析】（1）先利用诱导公式化简，再根据平方关系及商数关系即可得解;（2）找出己知角和所求角得关系，再利用诱导公式化简即可得解.（八 3 . （7 【详解】（1）COS/=-Sine(-COSe) 八，=L = COS6sin(-)co,； 2 a + 2 应-COS 7 X，Sine由/=g,所以 lan = 2;(2)由噌_q=；，得。喉-则/(系+ e) = cos(系

14、+ ) = 8s - =-cos- = -.得 Sine14.（2023下河南驻马店高一校考阶段练习）化简:-sin(l80o+a)+sin(-a)l+cos(-a)+cos(180-a),C。S(Y)(2)亍ysin(-a)cos(2+)；哈+)sin(-cr)+5cos(2-a)已知sin(-3兀)=2cos(-4兀)，求f3(的值.、/2sm1-nrI-sin(-)【答案】(1)0(2)sin2a(3)【分析】(1)利用诱导公式进行求解.(2)利用诱导公式进行求解；(3)根据条件得到Sina=-2cos,利用诱导公式化简后代入Sina=-2cosa,求出答案.【详解】(1)由诱导公式可得

15、，-Sin(180+)+sin(-)Sina-Sina01+cos(-a)+cos(180o-a)1+cosa-cosa(2)由诱导公式可得，(cosa.k2).,、/、SIn.21sn(-)cos(2+a)=SInaCoSa=Slna.5)CoSasin+aI2)(3)sin(-3)=2cos(-4)可得Sina=-2cosa,sin(-a)+5cos(2-a)Sina+5COSa-2cosa+5cosa32sin-sin(-)-2cosa+sina-2costz-2cosa4.15. （2023下广东佛山高一校考阶段练习）已知/（）=(1)若/(a)=-g,且兀)，求的值；若f(+)=:,

16、求sh停j)+sinC的值.【答案】(l)=g【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得;（2）依题意可得cos（+楙）=；,然后利用诱导公式和平方关系可得.【详解】（1）/（）=-snsna：=cosa,sma-smaCOSfl又4(0,7i),所以 =因为/()=-：，所以COSa=-g,(2)由(1)知/因为/卜+方)=；，所以cos(+T=人r,11令X=。+,则CoSX=,a=x,343所以sin2传一0)+sinQT【双基达标】16. (2023全国高一)在平面直角坐标系中，若角的终边经过点北SinT,COS3J,则sin(+)=A.一直B.-C.yD.在2222【答案】

17、B【详解】由诱导公式可得.5.,35Isin=sin2=-sin=,cos=cos2=cos-=,313yl323I3j3212_1由三角函数的定义可得sma=屋22=2则sin(+)=-Sina=-g.故选B.17. (2023上重庆高一统考期末)sin1写B=()D.A.BB.一直C.I222【答案】B【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】故选：B已知是第四象限角， 2 tan2 a - tan or -1 = 0 ,18. (2023上湖南高三湖南省祁东县第中学校联考阶段练习)cos(2-)-sin(-a)3cos(+aJ+c(os(-a)A.B.c-ID.【答案】D【分析】利用

18、已知条件化简求出ta11C的值，然后利用诱导公式及弦化切，计算即可.【详解】由ZtaMa-tana-1=0,解得Iana=-g或Iana=L因为。是第四象限角，所以Iana=cos(2-)-sin(-a)3cos(+0j+c所以一。,3Vo232V)所以cos(+)=Cos+(&-2)=-Sinla，(4%)(Y(石JVrcosta+I=cos+l+-I=-cosl+y1=_*故选：C.21. (2023上北京高一北京市H一1学校校考期末)己知CoSa=g,且-IVaV0,cos(-a-)sin(2+a)tan(2-ar).f3、(的值.sml-aIcosl+I【答案】-2=-,则SinP=(

19、)3eZ.4)力()化简并求【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tana,【详解】解：因为cosa=g,且-5a2,cosa3然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.ICt=-y-COS2Ct-=tcos(-)sin(2+)tan(2-)(-cosa)sin(-tana)sincos(-cosa)(-sina)tana=-22sin(2+)cos(-a)cos22.(2023全国高一专题练习)(1)化简：cosaa2(2).l_cos(-).化简而F1-cos(4)(5)(6)化简tan(2-)sin(-2-)sin+sin(a-)cosy-a_sin(180+a)+sin(-)|Hl+c

20、os(-a)+cos(1800-a),化简cossin+)cos(-a)sin(3-)sin(-+a)sin5一+a2sin(-)cos(2+)；已知sin(-3)=2cos(-4),求sin(-a)+5cos(2-)的值.3【答案】tana；(2)-cos2a;(3)-1；(4)0；si/a；(6)-【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】(1)原式=sina(-cosa)sin(-sina)Sina=tanct(-cos)sin(-Sina)cosaCoSa/、macos-(-a).fAT、原式二FM七-用(Tma)cos(-a)Sina.一CoSa、2(-sn)=(-cosa)(-sna)

21、=-cosa；Sina(3)原式=tan(-a)sin(-a)sin+-tana(-sina)-sin+asin-(-a)cos+-sin(-a)-coscosaG=Ttanasin(-COSa)一Sina(-Sina)tanasinacosaCoSaSina=-tana=sinasinasinaCoSa(4)原式=一Sin(180+a)+sin(-a)_Sina-Sina1+cos(-)+cos(l80o-a)1+cosa-cosa=0;(5)原式二sin(-acos(2+0)=SinasmacosaCoSa=sin2a；(6)由sin(-3兀)=2cos(-4)可得Sina=-2COSa,

22、sin(-a)+5cos(2-a)Sina+5CoSa-2CoSa+5CoSa2sin-Usin(-a)-2cos+sina-2cosa-2cosa34.【高分突破】一、单选题23.（2023下福建福州高一校联考期中）若是第四象限角,Sin=()5i.，则SIn12B. 1312 D.1312C.13【答案】DWl Sin./ =sma(2 3【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.-+a因为。是第四象限角，所以一+2EVa2EeZTTTTTT所以+2k-+a-+2A,kZ,633又因为SinOa513 ,故选：Dcos（a-3）24. （2023上山东荷泽高一校联考期末）

23、化简1 A-B.tanaC. tanatana【答案】【分析】利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.cos(a-3)cos【详解】(A)-CoSa (-Sina) sin a = tana tsincosa故选：C25.（2023卜，安徽滁州高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若角a的顶点为坐标原点，始边为X轴的非负半轴，终边经过点卜in年,cosl,则tan(-a)=()A. 3B.-3【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数诱导公式求解即可.26.（2023下安徽滁州高一校考期末）若且sin(乃+0)=,则sin?a)等于()33A.-B.-C.55【答案】B

24、11-D.一55故选：C【分析】利用诱导公式可求Sina的值,所以tan（兀-）=【详解】因为Sin生 3sin(-fl) cos(-)Sina-CoSa2利用同角三角函数基本关系式可求c。Sa的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解.cosa-Vl-sin2=,则原式Sin(N-)=sin(电一)=-COSa=-3225故选：B.27. （2023下辽宁沈阳高一校联考期末）已知01-sin2a=，2所以sin(5-)=sin=；,A选项正确;sin + a i = CoSa = (2)争B选项错误;3a2= -sina = - , C选项正确.sincosy-aa2cos aSina3, D选

25、项错误.故选：AC30. （2023上广东广州高一统考期末）已知Sin4,且?“唠则（）A.C.B. cosRH-1213(5、 5d co-r【答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得COStan结合X .由Sin仁+ x诱导公式计算求解可判断A；由CoSX）结合诱导公式计算求解可判断B：由tan（冶） = an.）结合诱导公式计算求解可判断C；由cos（* = COS （下）可判断D.结合诱导公式计算求解【详解】由FY得-冷-xom+2ffl+C0m+2因为sin?a+cos?a=562-10加+10m2+4n+4整理可得痴2_7z+3=0,即（2根一l）（m-3）=0,解

26、得?=；（舍）或m=3,所以,2m33m+sina=-,cosa=m+25m+2所以,Sina35A3tana=-=,cosa544sin(a+2024)+cos(a+2023)_sina-cos_1+1因此，(202l-sinatanacosct+I2J47=33.7故答案为：四、解答题38.（2023全国高一随堂练习）化简:(l)sin(a-2)sin(a+)-2cosa-jsin(a-)-cossin2cos(cr-3)sin【答案】0（2）1【分析】根据诱导公式结合整体化思想，化简即可得出答案.一Sina)2=-2sin2a-2sina(-sina)=0.1339. (2023上浙江宁

27、波高一余姚中学校考期中)已知tana-=,且。是第三象限角.tana2(1)求Iana的值;(2)求 2sin2(3-tz)- 3cosSin【答案】tana=2【分析】(1)整理化简题目中的方程，结合三角函数的性质，可得答案;(2)利用诱导公式，同角三角函数的关系式，可得答案.3z【详解】(1)由于tan。=,Ztan?-3tan-2=0，(2tana+l)(tan-2)=0,tana2且a是第三象限角，解得tana=-3(舍)或匕皿=2.(2)11Jf52sin2(3-11)-3cosy+tJsin-6r+2.22sin2-3sintzcosa_2tan2a-3tana_=2sn4-3sn

28、acos+2=；+2=；+2,Slrra+cosFtan+l17当tana=2时，原式=.40. (2023江苏高一专题练习)在tan(+a)=2;sin(-a)-sin(-aj=cos(-a)；2sin(5+a)=cos(与+a)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知.求3sina + 2cosaSina-CoSa的值;(2)当a为第三象限角时，求Sin(TZ)-CoS(Tt+ a) -cos(- + a Jsinf a-3 ), /十 K!.【答案】8竽【分析】(1)根据诱导公式及同角的三角函数关系，得出条件的结论都为tana=2,根据同角三角函数的关系化简3sina

29、+ 2cosaSina-COSa,代入即可;(2)由Uma=2及。为第三象限角求出Sina和COSa,再根据诱导公式化简sin(-a)-cos( + a)-co+)sinF),代值计算即可.【详解】（1）若选tan（兀+）=2,则Iana=2；若选sin(-)-Sin(I-j=cos(-),则Sina-COSa=Cos,即Sina=2cosa,则Iana=2；若选2sin(g+)=cos(技+),则2cos=sina,即Iana=2；fi,3sina+2cosa3tana+2因为=j，Sina-Cosatana-1将Una=2代入，原式=等=8.(2)由(1)得tana=2,即Sina=2cos,由sin2a+cos2=1,则(2COSa)?+cos2a=l,解得CoSa=士亭,因为为第三象限角，所以CoSa=-或，则Sina=-也55sin(-a)+5cos(2-)41. (2023下四川眉山高一校联考期中)(1)已知方程sin(-3)=2cos(-4),求2m(里a)Sinea)的值.（2）fi11-xO,sinx+sx=