专题06导数与函数的零点问题（练）【解析版】公开课教案教学设计课件资料.docx

《专题06导数与函数的零点问题（练）【解析版】公开课教案教学设计课件资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题06导数与函数的零点问题（练）【解析版】公开课教案教学设计课件资料.docx（27页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、XXX热点、难点突破篇专题06导数与函数的零点问题(练)【对点演练】一、单选题1. (2022河南驻马店高三期中(文)已知函数/(x)=e-hu,0x,x2x3,/(x,)(x2)()O,实数，是函数/(力的一个零点，下列选项中，不可能成立的是()A.rC.，占D.t3【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点的存在性定理即可求解.【详解】因为函数的定义域为(0,+8),所以/(x)=-g恒成立，所以/(力二b-Inr在定义域(0,y)上是单调减函数，当。玉f(w)(w),又因为5)/(毛)/(玉)。，/(x2)0,/(3)，不可能成立.故选:C.2. (2022四川省遂宁市教育局模拟预测(理)

2、定义在R上的奇函数/的图象关于X=I对称；且当XWo,1时，f(x)=-x2+x.则方程”(x)r+2=0所有的根之和为()A.IOB.12C.14D.16【答案】A【分析】根据题意函数为周期为4的周期函数，再根据当x0,l时，f(x)=x3-x2+x,求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可.【详解】(x)为奇函数，.”r)+/(X)=0,又一(力关于直线x=l对称，J函数/(x+l)为偶函数，故/(x+l)=(-x+l),所以+4)=(x+3+l)=(r-3+l)=(T_2)=_x+2),又/(x+2)=(x+l+l)=(-x-l+l)=(-x)=-(x),所

3、以f(x+4)=f(x),故，(可为周期函数，周期为4,当x0,l时，/()=3x2-2x+1=3-1J+1O,所以在0上单调递增，作函数”力图象如下方程”(x)-x+2=0可化为/(x)=(-2),方程f(x)=:(x-2)的解即函数f(x)的图象与函数y=；(x2)的图象的交点的横坐标，作函数*)=(x-2)的图象，方程4(x)-x+2=0的所有实根之和为(+x5)+(2+xt)+A=4+4+2=10.故选：A.3. (2022四川省遂宁市教育局模拟预测(理)己知函数/(H=l+e*(mnx-x+)(其中xl,0)有两个零点，则。的取值范围为()A.(y,2)B.(-e2,-e)C.(-1

4、),利用导数研究函数/的性质可得=e-r,即函数)，=,与ag(x)=-皿图象在。，内)上有2个交点，利用导数求出g(X*n,即可求解.X【详解】函数f(x)=l+e%lnx-d+x)(xl,O)有2个零点，则方程1+eYa1nX-Y+x)=0有2个不同的解,方程l11-x=-x-evlnx-xa=lne_*-ex，11-r设函数/(=InX-Xai),则ra)=i-=L)上单调递减，由f(xa)=/(e-v),得K=/,即L=-皿，则函数)，=1与y=-皿图象在(1,内)上有2个交点.aXa设函数g(x)=-(l),则g(x)=-1-1v=1n-1，XXJr令g(x)v=lvxve,令g(x

5、)0nxe,所以函数g(x)在(Le)上单调递减，在(e,+8)上单调递增,故g(X)min=g(e)=Y，a0.X三个零点，则机的取值范围为()A.-2,0uB.(-2,0)C.(OT)D.(川【答案】A【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，再画出函数图象，结合函数图象求解即可.3x(x+2),xO【详解】由题意，得小x-2,Ox0,/(X)单调递增,当-2vxe时，V)2上有解.令MX)=21nx-2+(gx2),则(X)=I=2).由(x)0,得*0,得g0,则MX)mi=2)=21n2-7,即。的最小值为21n2-7.故选：D.2+X一2X16. (2022.山东德州高三期中)

6、已知定义在-2,2上的函数/=；-若g(x)=(x)-(x+l)ln(x+l),-lx2的图像与X轴有4个不同的交点，则实数。的取值范围是()【答案】A【分析】由gW=/a)-4x+l)的图像与X轴有4个不同的交点，转化为力与y=(x+l)有4个不同的交点，画出二者函数图像，求出f(x)与y=a(x+l)恰有3个交点的临界直线的斜率，即可求。的取值范围.【详解】因为g(x)=f)-(x+l)的图像与X轴有4个不同的交点，所以f(x)与y=(x+l)有4个不同的交点，作出二者图像如下图:当直线与F(X)相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为C(M,为)，则,1a = y 0 + la( + l

7、) = ln(x0 + l)=e-l,解得 1 a = 所以切线为y=,(+),此时有三个交点；ez、fIn3In3当直线过点(2,ln3)l,g=Wzjy=V，此时有四个交点:综上所述：L3e故选：A.e3*X07.(2022.吉林.东北师大附中模拟预测)已知函数八#=3”,二。集”=廿+*其中e是自然对数的底数)，若关于X的方程Fa)=以/(疝-，恰有三个不同的零点占,工2，*3,且XVX2七，则33-w+3/的最大值为()3 4A.1+In-B.1+InC.3In3D.3+In34 3【答案】A【分析】根据解析式研究/(幻、g。)的函数性质，由尸(X)零点个数知g(x)与丁二m的交点横坐

8、标个在(0,1上,另一个在。,+00)上，数形结合可得OvmvI,g(G=g(j)=m且。乙12,r1+2=2,进而可得N=学W=打=与代入目标式，再构造函数研窕最值即可得解.【详解】由/O)解析式，在(y,01:J(X)单调递增且值域为(OJ,在(O,x)上/O)单调递增且值域为(0,物),函数/(M图象如下：所以，/(X)的值域在(OJ上任意函数值都有两个X值与之对应，值域在。,例)上任意函数值都有个X值与之对应，要使尸(X)=g(X)一加恰有三个不同的零点与“2，七，则g(x)与y=m的交点横坐标一个在(0,1上，另一个在由上图知：0ml,此时g&)=g(，2)=且0%1v22,力+，2

9、=2,结合f(x)图象及芭42=In2,11.O1,4I42-4X令人(X)=InXx+2H,Ox0,MX)递增；当xe(3,l)时力30,递减；所以心)a=ag)=n(+l,故M-X2+3占最大值为lnq+l.故选：A二、多选题8.(2022.福建泉州五中高三期中)f()是定义在(0,+上的函数，满足/(x)+f(x)=J/(1)=1,则下列说法正确的是()A.(l)=lB.当aVl时，方程f(x)=有两个解C./(x)lD.当=l时，方程X)=。有且只有一个解【答案】CD【分析】首先根据条件求出/U)的表达式,再求导，分析/J)的图像，结合图像即求解.【详解】/()+V,W=p将x=l代入

10、得/+尸=1,又1)=1,解得/=0,故A错；令g*)=MX%),g,M=f(x)+xf,(x)=-,则g(x)=lnx+z,/为任意常数.g=，=f=l.g(X)=InX+1.X-、InX+1/W=.X,、_：一n+l)_lnx，当X(0,1)时，八幻0J。)单调递增，当Xt(LM),/(v。，f()单调递)=P=减Ja)在X=1处取最大值1.作/(X)图如下：则方程“x)=有两个解，即y=与F(X)的图像有两个交点，0v00,(x)0,ee前者解得0vx2或XV0,故g(%)在(y,o),(2,+8)递减,(0,2)递增.故g(力的极小值为g=O，极大值为g(2)=4,令g(x)=0,显然

11、分母炉0,则分子f=o,X=O,则g(力有唯一零点0,故答案为：。-，+010.(2022.北京十四中高三期中)已知函数/(x)=k+x若。=0,则函数/()的零点有个；2x,xa若存在实数小，使得函数y=)+w有三个不同的零点，则实数。的取值范围是.【答案】2(o,-l)j(-l,0)【分析】空1：通过分类讨论解方程判断零点个数；空2：根据题意可得y=F(x)与y=-m有3个交点，在同一坐标系作出y=g()与y=2的图象，分类讨论结合图象分析求解.【详解】空1：若=0,则函数/(力=；+3：,2x,x(舍去)；当KVO时，2x=0,解得X=O(舍去)；故函数/(x)的零点为0,#,共2个.空

12、2：对于函数g(x)=3+3x,贝J(x)=-3x2+3,令g(x)O,则-IVX1g(x)在(Tl)上单调递增,在(-oo,T),(l,+oo)上单调递减，且g(l)=2,g(T)E2,令y=(M+帆=，则f()=-m,由题意可得：y=f()与丁=一机有3个交点，如图，在同一坐标系作出y=g()与y=2%的图象，则有：当av1时，存在机，使得y=(x)与丁=一机有3个交点，即av1成立；当=-l时，y=f(x)与y=n至多有2个交点，即=-l不成立；当-1”1时，存在加，使得y=f(x)与=一根有3个交点，即-l1. (2023陕西西安高三期末(理)已知函数“X)=；-n,若函数g(x)=f

13、()-f(x),则函数g(x)的3x,X0【分析】本题首先通过函数奇偶性求出g(x)=0,x=0,再利用导数研究其在(O,+R)上的零点个数即可.ex+3,0时，-XVO,/(-x)=3x当v时，T0,f(-x)=ex3x-ex,x0g(x)=(r)-/(x)=,。，工=0,e-*+3x,x0时零点个数即可，g(x)=3x-ex,x0,g(x)=3-ex0,令g(x)=3-e*0,解得OVXVIn3,故g(x)在(0,ln3)上单调递增，在Qn3,+oo)单调递减，且g(ln3)=31n3-30,而g(2)=6Y-1C. xi+x2 l,3,七为函数f(x)=-封的零点,x1x2g(-l),a

14、x1 =x12(x10) a3 = xj (30)当X=O时，g(0)=l(0)=0,(0)(0),-1xil,Z(X)1,.g(X)-Z(X)没有零点，即%21,+w0，C错误;联立方程消去为得豆-2-1 = 0X2 J x2并且色。,解得,B正确;对于D,由于/(x)在XVo时存在唯一零点，若/(x)存在3个零点，必有0,W0，考虑当x0时，M=V必有2个解，两边取自然对数得;dno=21nx,构造函数：hx)=xna-2nx,即力(力在x0时必有2个零点，求导：WI2Ind-j),令(x)=0,则有=3,Zl(X)=Ina-=InnXX当x0时,(x)O,(x)单调递增，当“V/时，Z(

15、x)O,hx单调递减,.在x=%时，hx)取得最小值，(x)有2个零点的充分必要条件是(无)0,22-即2-2ln盛0,CIe.D正确;故选：C.3. (2022天津高三期中)己知定义在R上的函数/(力= 1,若函数g(x) = f (力+ 比恰有2个零点,则实数山的取值范围为()A. (-,T) JOJ!hC.(V,B. (-,-l)jOUJJD. GT)J0U(l,2)【答案】D【分析】把函数g()=()+比恰有2个零点转化为y=f(力和N=一6有两个交点.利用图像法解.【详解】因为函数g(%)=)+皿恰有2个零点,所以y=f()和y=一侬有两个交点.lnx,x 1因为X=O时，y=()和

16、y=-侬相交，所以只需y=f()和y=-侬再有一个交点.InX,X1./(X)=-X2+x,0l时，若f(x)=lnx与y=mr相切，设切点为(0力).b - -ma则有b = ln ,解得:1- = -m所以要使函数g(x)=f(力+，加恰有2个零点，只需TWV-I或一切1或一m=0,解得：e-m1.e故选：D二、多选题4. (2022广东深圳实验学校光明部高三期中)己知函数f(x)=d+l,则()A./O)有两个极值点B./(x)有三个零点C.点(。,小是曲线)，=/(幻的对称中心D.直线y=2x-l是曲线y=(x)的切线【答案】AD【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/V)的单调性、极

17、值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，(x)=3x2-1,令第x)0得乎或不一乎，令(X)O得-3VX0,八4)=1一竽o,/(-2)=-5o,即函数力在(,+8)上无零点，综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；令人(幻=x3-x,该函数的定义域为R,(-x)=(-x)3-(-x)=-X3+x=-A(),则人。)是奇函数，(60)是Aa)的对称中心，将力(X)的图象向上移动个单位得到/(X)的图象，所以点(0,1)是曲线y=()的对称中心，故C错误；令r(x)=3x2-l=2,可得X=l,X(D=(-1)=1,当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1,

18、当切点为(TI)时，切线方程为y=2x+3,故D正确.故选：AD.5. (2022广东.普宁市华侨中学高三期中)关于函数f(x)=e+sinx,x(r,o),下列说法正确的是()A.当=l时，/(x)在(OJ(O)处的切线方程为2x-y+l=0B.当。=1时，/(“存在唯一极小值点/且一1(o)0,/(%)在(-兀物)上均存在零点D.存在),故f(0)=l,切点为(0,1).又f(x)=e+8sx,(0)=2.则切线方程为yT=2(x-0),gJ2x-y+l=0,故A正确;对于B选项，4=l时，,(x)=e+cosx,令/(x)=g(x),则/(x)=e，一Sillx.当x(-,O)时，0et

19、O,sinxO.当x,y)时，,(x)=ev-sinxev-lO,故/(x)=g(x)在(-,+)上单调递增,有fU4*s又4%Aa故广(X)在(-兀，oo)上有唯一零点，结合r(x)在Gm+8)上单调递增得儿1)存在唯一极小值点A0,且X(Ie(V,),则,(x0)=得eAb+Cosx0=One=-cosx0,则/()=e+sin/=sin%-cos”五SinGo-J又因XOG卜全-S则与一:G卜元,一千)，得T(%)一1旦人Z)时，显然没有实根，故XWE(Z-1且&Z)则叫一工，令MX)=-且，有“(x)=e2,sinxSinXSilrX令(x)=0,得x=j+E(&-l且RZ),在卜才+

20、2E,2e（2Ee+2也卜A0,ZZ）上单调递增，在（：+2E,+2it+2,y+2jlj（ZO,AZ）上单调递减，MX）的极小值为小学+2可二小手2以之缶-与（AO,ZZ）,妆x）的极大值为/2（：+2）二+2以缶：0（ZO,ZZ）,故当j,缶寺）时，y=（x）=-的图像没有交点，即/（X）在（-兀,+8）上没有零点，故C错误;对于D选项，由C选项分析可知，存在f,(x)+f(x)e=3x2,设函数Kr)=/(x)e)即/X)=r(xAe+(x)e=32,所以h(x)=X3+m,因为/(O)=O,所以力(O)=O,即。+m=。=/W=0,即力(X)=X3,于是有h(x)=/(x)e*=x3=

21、/(X)=er,所以f()=32e-x-r=-X2(x-3)e-x,当x3时，,。)OJa)单调递减，当0vxOJ(x)单调递增，当ArVO时，COOJ(x)单调递增，当f+8时，y0,当XfYO时，y0,函数g*)=(x)M有且只有一个零点，即方程g()=f()=o有个实数根,即函数y=()的图象与直线y=%有一个交点，如上图所示：所以&40,因此的取值范围为(-,0,故答案为：(-,07. (2022北京汇文中学高三期中)己知函数/(X)=/一贴，给出下列四个结论：X函数”幻是奇函数；函数/(X)在(F,0)和(0,+8)上都单调；当x0时，函数.y(x)O恒成立；当XVO时，函数/*)有

22、一个零点.其中所有正确结论的序号是.【答案】【分析】由奇偶性的定义可判断；结合导数可判断函数的单调性，进而可判断；结合函数的单调性可求当x0时函数的最小值，比较最小值与O的大小关系即可判断；由-1)(),/(T)0时，/(H = 2一寸,则r(力=2x-上蝮=2广+E-令力()=2d+lnx-1,则Ml)=I0,XXh(g)=ln-所以存在用e(J)J，使得MXo)二0，所以当x(O,o)时，f(x)0,/(x)是单调增函数，所以错误；由可知，当X=Ko时一，/(x)在(。，田)上有最小值，11,2x+lnxo-l=0,( 1 、(界所以*我因为%)=七*一(243片一：,则IVE1,即o,2

23、2MXO所以当x0时，f(x)O恒成立，故正确;CW,“、2ln(-x)、CI-In(T)2x3-l+ln(-x)当XVO时，/(x)=x2一一f,(x)=Ix-L=p-A_L1令g(x) = 23-l + ln(-x),则令g(H = 6f + 1亨=0,解得“xO时,g(x)O,则g(x)单调递增;所以当时,卜0,所以一(“)在HT)故答案为：内有一个零点，故止确.-l + ln 341-ln60,贝IJra)O,/四、解答题138. (2022河南驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文)已知函数/(r)=5nx-f-+求/(x)的单调区间；若关于X的方程/(%)=-#T在42上有实数根，求

24、实数0的取值范围.【答案】(D/W在(0，；)上单调递增，在(；，+8)上单调递减.311(2)-+-In2,3In2|_822J【分析】(1)由导函数的正负，确定原函数的单调区间.(2)方程在区间上有实数根，转化为对应的函数在区间上有零点，利用导数研究单调性即可.【详解】(1)函数/(x)=:lnx-f-+*定义域为(0,)，(x)=-2-=4v3+1*222x22x/)0,解得01,r(x),/（x）在（，；）上单调递增，在g,）上单调递减.（2）/（幻=彳/T在卜上有实数根，即3垢工一3/31+=0在1,2上有实数根，设8（元）=3111“一了-3+4=卜9），n,z,112xx+1则/

25、（幻=丁7十一-，2x22xg（x）O,解得:%g,g（x）0,解得;x2,g（x）在上单调递增，在（2上单调递减，T=-,n2-+g；=_；ln2_j+,g（2）=n2-3+g（2）-g（；）=Tln2M（）,g（%）在：.2上最大值为g4=-4ln2-+,最小值为g（2）=:ln2-3+,.4J2yZo2r_-1112-+0CI9R311g（x）=O在2上有实数根，有J,解得m+.ln23-gln2,-ln2-3+a082212311实数的取值范围为-l112,3-ln2oZZ9.（中学生标准学术能力诊断性测试20222023学年高三上学期11月测试）已知函数/（力=#一+，g（x）=ln

26、-.若直线y=-+人与曲线y=f（）和y=g（）都相切，求实数。的值；（2）设函数MX）=XHga）J/区一（到,若函数y=（力在（，+8）上有三个不同的零点的，x?，与，且x1x2x3,求证：x3=l,lx1+x2ti.【答案】（l）a.e;C-V（2）证明见解析.【分析】（1）根据切线的方程及导数的几何意义，列出方程求解即可：（2）分析f（x）,g（x）的正负及单调性、变换趋势,确定力的零点所在区域及曰=1,由AX2为/*）在（0,1）上的两个零点，再由零点的分布确定求用+出的和.【详解】(1)r(x)=x2-,g(x)=q,令f(x)=-,得X=0,所以直线y=-奴+b与曲线y=f()相

27、切于点(0+),得6=看，设直线y=-以+与曲线y=g(X)相切于点(%,%),1 1.1Iill则一F=且一。+Ti=In丁，所以M=J,a=e下，入0,4人Ov2)由题意得Mx)=博二优制，g()在(0收)上有唯一零点1,当XV-I时，f(x)=-x3-ax+-x2-ax+,v7312312由二次函数的性质可得到，必然存在me(r0,T)使得-gf-av+e0,故)o,所以存在(小。)，使得加0,所以/(%)在(田，。)上至少有一个零点，在(。，田)上至多有两个零点，因为MX)在(,0)上有三个不同的零点，所以1为Mx)的零点，不是/()的零点，进而g=0/=a+?即”，因为当Xw(L+)

28、时，g()O,所以“X)在(0,1)上有零点为，因为/(0)=0,/=3於0,所以/(x)在(0，1)上存在极小值/()v,由r(x)=2-a,得r(%)二片一a=0,ij=(0,l)/(*)=/(6)=g(q_aG+卷=|(利3+方0，所以(卷，设方程gx3-ar+卷=g(x一芭)(x-%2)(X-X4)，则x1+x2+X4=0,124=-i，xx2+x2x4+4x1=-3a,所以西天(演+)=W，xx2(x+x2y=-3a,设f3+%，则/J=3(Ui4r144J因为卬(f)=产一在(O,a0递增，且卬=,所以pil+2tl.【点睛】关键点点睛：本题通过分析函数/(x),g(x)的特点，确

29、定出MX)的零点分别来源于/(x),g(x)零点及所在区间是第难点，也是关键点，当确定不，W是/(外在(OJ)上两个零点之后的求和是第二个难点，也是本题求解的关键点之二，方法比较独特，不容易想到，实属难题.10.(2022河北模拟预测)己知函数/(x)=e;or,R.求“v)的极值；(2)F(x)=f(x)+ax+sinx-bx-l,当L,60时，”力有极小值O(ITm),无极大值(2)2个零点【分析】(1)根据题意，求出函数的导函数，对导函数的正负进行分类讨论即可求解；(2)先对函数尸(%)求导，令g(x)二尸(耳，对的取值范围分类讨论，利用导数的正负求出产(力的单调性，由零点存在性定力判断

30、零点个数即可.【详解】(1)/(力的定义域为R,且/(x)=e-.当0时，/(x)0恒成立，/(尤)在R上单调递增，无极值，当白0时，令0,得xln;令/(x)0,得0时，/(元)有极小值”(17n4),无极大值.(2)KJF(x)=er+sinx-zx-l(x/?),所以7(x)=e*+coSlV-6,4,=F,(x)=er+cosjr-Z?,则,(x)=e-sinx.当x万时，由lb乃一l-lO故尸(力在(口,一句上无零点.当x0,+)时，,(x)=e-sinxl-sinxO,尸(力在0,用)上单调递增；F(x)(0)=2-0,(x)在0,”)上单调递增，F(x)F(O)=O,/(%)在0

31、,+R)上有唯一零点X=O,当x(-乃,0)时，SinX0,F(x)在(一肛0)上单调递增，F(O)=2-60,(一%)二尸一人一10,F(r)e讨论，利用导数研究函数的性质结合零点存在定理即得.【详解】(1)由题可得r(x)=-7inx,设g(x)=/(X)=T-sinx，贝Jg(r)=-B-cosx,当ToS时,(x)0,r图=0,当Xe0，/)时，,(x)0,/(x)单调递增，/=-+cos0,所以/(%)在区间(。，%)上有唯一零点；(ii)当XeIT时，(x)0,/(x)在区间(XOe内不存在零点；(Hi)当xe时，/(x)=l11.r+cosxlne+cosx0,所以/(%)在区间(e,+8)内不