专题15导数的概念及运算(解析版)公开课教案教学设计课件资料.docx
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1、专题15导数的概念及运算知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一:导数的概念题型二:导数的运算题型三:求切线方程题型四:求参数的值(XX)题型五;导数与函数图象题型六:与两曲线的公切线有关的问题培优训练训练一:训练二:训练三:训练四:训练五:训练六:强化测试单选题:共8题多选题:共4题填空题:共4题解答题:共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.通过实例分析,了解平均变化率、瞬时变化率,了解导数概念的实际背景.2 .通过函数图象,理解导数的几何意义.3 .了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5 .能求简单的复
2、合函数(形如式r+b)的导数.【考点预测】1 .导数的概念如果当故一O时,平均变化率非无限趋近于一个确定的值,即言有极限,则称y=U)在X=Xo处可导,并把这个确定的值叫做V=)在尸刈处的导数(也称瞬时变化率),记作逊或以缈.,.f(o+Ar)-f(小)即/()=2*o,z.(2)当X=XO时,/Qo)是一个唯一确定的数,当X变化时,y=)就是X的函数,我们称它为y=U)的导函数(简称导数),记为)(或川,即)=y=Hm- xO(X+ x) f (x)x2 .导数的几何意义函数尸危)在X=X。处的导数的几何意义就是曲线y=(x)在点PaO,/Uo)处的切线的斜率,相应的切线方程为yZUo)=X
3、o)(X一次).3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数U)=c(c为常数)=o7U)=K(Q,0)f(x)=axaJ(x)=sinxf(x=COSXfix)=COSXf(x)=-Sin_x%)=优(a0且W1)f(x)=vlnaTU)=ex/()=SKr)=Iog融(。0且a)J(x)=nx=J4 .导数的运算法则若/任),g(x)存在,则有:g(M=Z3;U)g()=F(X)0)+ZU)*();f (x)女(x) f (X) W (无)o);cj(x),=cxl.5 .复合函数的定义及其导数一般地,对于两个函数y=/()和=g(x),如果通过中间变量小y可以表示成X的函数,那么称这个
4、函数为函数y=/()与u=g(x)的复合函数,记作y=AgCr).(2)复合函数y=(g(x)的导数和函数y=/(),=g(x)的导数间的关系为W=H2,即y对X的导数等于y对的导数与U对%的导数的乘积.【常用结论】1/(刈)代表函数Ar)在X=XO处的导数值;(/U)是函数值大刈)的导数,则(m)=O.11f(x)3 .曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4 .函数y=/a)的导数/(%)反映了函数yu)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小/()反映了变化的快慢,任)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【方法技巧】1 .求函数的导数要
5、准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.2 .抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.3 .复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.4 .求曲线在点Pa0,)处的切线,则表明尸点是切点,只需求出函数在尸处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若在该点尸处的导数不存在,则切线垂直于X轴,切线方程为X=5 .求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据斜率相等建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.6 .处理与切线有关的参数问题,通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组
6、)并解出参数:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上,故满足切线方程;(3)切点在曲线上,故满足曲线方程.7 .利用导数的几何意义求参数问题时,注意利用数形结合,化归与转化的思想方法.二、【题型归类】【题型一】导数的概念【典例1】已知函数(X)=-4.9x2+6.5x+10.计算从X=I到尸l+x的平均变化率,其中x的值为2;1;()0.1;0.01.根据(1)中的计算,当Ar越来越小时,函数力(X)在区间口,l+x上的平均变化率有怎样的变化趋势?【解析】(l)Ay=Ml+x)-(l)=-4.9(x)2-3.3x,,2=4.9-3.3.当x=2时,=-4.9-3.3=-13.1;当
7、x=l时,K=一4.9x3.3=8.2;当x=0.1时,K=-4.9x3.3=3.79;AV当x=0.01时,K=-4.9-3.3=3.349.当x越来越小时,函数力在区间1,l+x上的平均变化率逐渐变大,并接近于一3.3.【典例2利用导数的定义求函数r)=-2+3x在x=2处的导数.f(2+x)T(2)【解析】由导数的定义知,函数在彳=2处的导数八2)=IimJ/,Ax-O4而7(2+x)-(2)=-(2x)2+3(2+)-(-22+32)=-(,r)2-x,Te=I-(ZLr)2-Ax于正/(2)=1叫TT=y11(-1)=-1.x-OLJlXx-O【典例3】已知儿E)在次处的导数/(XO
8、)=A,求下列各式的值:(1)(Jlo)一于(XO-Ax)ArrO2xf(xo+)f(xo-jc)妈【解析(l)Vlin/(X()7(T)-0XO-(XO-x)=/(加),f (XQ -x)=Fao)=%f(xo)即Iim-x-0r/(期).Iim,r-Of(XQ-)2f (Xo+x) -f (Xo-Ax)2xJ(Xo+x)f(xox)*(xo+x)(X0x)为函数Kr)在区间xox,xo+x上的平均变化率.1- ,f(Xo+x)-f(ro-x)x.,_z当x-0时,工必趋于Fao)=hf(XO+x)-f(XO-x)2xIim-f(XO+x)-于(xo-Ax)AjOx=2k.【题型二】导数的运
9、算【典例1】(多选)下列求导运算正确的是(故A正确;(x2er),=(x22x)er,故B错误;COS(2x=-2sin(2x一1),故C错误;卜一=lp,故D正确.故选AD.【典例2】函数/)的导函数为/(%),若於)=f+/寻inx,则福=.【解析】,()=2x+/eCoSA:,-f0=+k-wK=Tv(=+【典例3】已知函数/)=er3in+erc0sx,则2021)一/(0)等于()A.e202lCos2021B.e202,sin2021C.D.e【解析】因为,(X)=esinjv+elosx,所以yU)=exsinx+k(Z为常数),所以批2021)-/(0)=e202,sin202
10、1.【题型三】求切线方程【典例1】曲线y=空,在点(一1,一3)处的切线方程为.I乙【解析L=(第),=2(x+(?gl)=舟,所以y-=5,所以切线方程为y+3=5(x+l),即5xy+2=0.【典例2】已知函数/U)=jdnX,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=(x)相切,则直线/的方程为.【解析】Y点(0,-1)不在曲线外)=xlnx上,设切点为(X0,yo).又;f(x)=l+lnx,二.直线/的方程为.+1=(1lnxo)x.VO=xoln xo, jtol=(llnxo),ro,解得 XO= 1, yo=O.直线/的方程为y=-l, gP -y-l=0.【典例3】已知曲线y=
11、%3+g.求满足斜率为1的曲线的切线方程;(2)求曲线在点P(2, 4)处的切线方程;(3)求曲线过点P(2, 4)的切线方程.【解析】(l)y=f,设切点为(X0, yo), 故切线的斜率为=j=l,解得JrO=1,故切点为(1, Ij, (1, 1).故所求切线方程为y=-1和y1=+1,即 3-3y+2=0 和无一y+2=0.14(2) Vy=X2,且 P(2, 4)在曲线 y=jx3+g上,在点P(2, 4)处的切线的斜率k=y2=4.曲线在点P(2, 4)处的切线方程为y-4=4(x2),即 4x一厂4=0.(3)设曲线y=53+(与过点P(2, 4)的切线相切于点八(X0, x3j
12、,又;切线的斜率k=y,x=xo=x,切线方程为y-(24即 y=r-f+q.4-3点P(2, 4)在切线上,.244=2XS一密+q,即ad3o+4=O,xo+x6-4x6+4=0,.*.(tt+1)4(xo+l)(xo-1)=0,.(xo+l)(xo2)2=0,解得XO=-1或XO=2,故所求的切线方程为4jvy4=0或xy+2=0.【题型四】求参数的值(范围)【典例1】直线y=H+l与曲线yU)=Hnx+b相切于点P(l,2),贝j2+等于()A.4B.3C.2D.1【解析】Y直线y=丘+1与曲线凡T)=HnX+。相切于点尸(1,2),将P(l,2)代入y=H+l,可得2+1=2,解得=
13、1,YyW=Hnx+/?,/.f,(x)=,X由/d)=y=h解得=1,可得HX)=Inx+b,尸(1,2)在曲线汽幻=Inx+8上,(l)=ln+b=2,解得力=2,故2+b=2+2=4.【典例2】已知Kr)=InjGg(x)=52+nr+az0),直线/与函数/U),g(x)的图象都相切,与7U)图象的切点为(1,式1),则加=.【解析】Y/(X)=S.直线/的斜率欠=/(1)=1.又T(I)=O,,切线/的方程为y=-Lg,(x)=x+f119设直线/与g(x)的图象的切点为(A0,W),则有Xo+m=l,yo=xo-l,M)=%8+/次)+/,m0)的切线,恰有2条,则实数a的取值范围
14、是【解析】由y=ev,若切点为(xo,ex),则切线方程的斜率=y=xo=ex0,工切线方程为y=Qe”。(x加+1),又P(l,e)在切线上,aex0(2xo)=e,即2=eo(2xo)有两个不同的解,令(x)=e(2-),.,()=(l-)er,当X(-8,1)时,f()0;当x(l,+8)时,,()l,即实数4的取值范围是(1,+).【题型五】导数与函数图象【典例1已知函数y=(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=/(X)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解析】由y=/(X)的图象是先上升后下降可知,函数y=()图象的切线的斜率先增大后减小,故选B.【典例2】已知y=7U)是
15、可导函数,如图,直线y=丘+2是曲线y=(x)在x=3处的切线,令g(x)=M(X),g(力是g(x)的导函数,则g(3)=.【解析】由题图可知曲线尸危)在尸3处切线的斜率等于一提(3)=-.g)=(),g)=)+fa),gf(3)=3)+3f(3),又由题图可知y(3)=,:.gf(3)=l+3(-)=0.【典例3】已知y=(x)是可导函数,如图,直线y=丘+2是曲线y=7(x)在x=3处的切线,令g(x)=0(x),g(X)是g(x)的导函数,贝Jg(3)等于()A.-1B.OC.2D.4【解析】由题图可知曲线y=U)在/=3处切线的斜率等于一全*(3)=-,.g()=施),g()=v)+
16、。),g,(3)=3)+3f(3),又由题图可知y(3)=,g=1+3X(;)=O.故选B.【题型六】与两曲线的公切线有关的问题【典例1】已知函数儿E)=XInX,(x)=X2ax(aR),直线/与/U)的图象相切于点4(1,0),若直线I与g(x)的图象也相切,则。等于()A.0B.-1C.3D.一1或3【解析】由兀T)=XInX求导得Fa)=I+In尤则/(l)=l+ln1=1,于是得函数y(x)在点4(1,0)处的切线/的方程为y=x1,y=-1,因为直线/与g(x)的图象也相切,则方程组,、有唯一解,即关于X的一元二次方程.g(x)=xz+r,f+(-l)x+l=0有两个相等的实数根,
17、因此4=31)24=0,解得a=1或。=3,所以a=-或=3.【典例2】若曲线Ci:y=0x2mO)与曲线C2:y=e存在公共切线,则。的取值范围为.【解析】由y=0r2(O),得y=Iax,由y=ev,得y=ex,曲线Ci:y=av2(aO)与曲线。2:y=ev存在公共切线,设公切线与曲线Cl切于点(幻,),与曲线。2切于点(X2,exz)f贝U2ax=ex2=2Xz-Xi可得2x2=Jq+2,.争Ia,2%e+记段)=,则/ M=e”(3-2)当x(0,2)时,f,(x)0,/U)单调递增.当X=2时,y(x)min=-.的取值范围是L 9 ez不+8【典例3若TW=Inx与g(x)=f+
18、如两个函数的图象有一条与直线=x平行的公共切线,则a等于()A.1B.2C.3D.3或一1【解析】设在函数Ar)=InX处的切点为(X,y)9根据导数的几何意义得到史=:=1,解得x=l,故切点为(1,0),可求出切线方程为y=x1,此切线和g(x)=x2+E也相切,故x2+ax=-1,化简得到x2+(4-l)x+l=0,只需要满足=(-l)2-4=0,解得a=1或=3.故选D.三、【培优训练】【训练一】若曲线y=5sin2x+乎cos2在A(X1,y)f8(x2,*)两点处的切线互相垂直,则|加一刈的最小值为()C兀一2兀一A.B.,C.D.【解析】Ty=sin2x+坐COS2工1.l31c
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