专题14空间向量与立体几何（解析版）.docx

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1、专题14空间向量与立体几何一、知识速览二、考点速览知识点1空间向量的概念及有关定理1、空间向量的有关概念（I）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；（4）共线向量（或平行向量）：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；（5）共面向量：平行于同一个平面的向量2、空间向量的有关定理（I）共线向量定理：对空间任意两个向量Z,0）,的充要条件是存在实数4,使得G=丸%（2）共面向量定理：如果两个向量,B不共线，那么向量方与向量Z,B共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,y）,使万=Xl+.（3）空间向量基本

2、定理：如果三个向量,几工不共面，那么对空间任一向量万，存在有序实数组x,y,Z,使得P=XQ+韬，其中，q,5,c叫做空间的一个基底.知识点2两个向量的数量积及其运算1、空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量3,在空间任取一点。作况=3,OB=b,则乙408叫做向量Z与坂的夹角，记作G石,其范围是0,用，-*若。r,b=-,则称。与b互相垂直，记作aJLb2非零向量a,b的数量积=卜帆8S.（2）空间向量数量积的运算律结合律：（回石=40孙交换律：ab=ba；分配律：a（b+c）=ab+aC.2、空间向量的坐标表示及其应用设。=3，%,。3)，b=(bM,

3、b3),向量表示坐标表示数量积Crb她+a2b2+印3共线a=b(b0,R)%=bx,a2=b2，c3=by垂直ab=0(a,b0)她+a2b2+aib3=0模FlJa；+ciy夹角(a6,10)-7ah+ahaJ)xcos=J_f_-3a；+a；+a；Qb；+b；+b；知识点3空间中的平行与垂直的向量表示1、直线的方向向量和平面的法向量(I)直线的方向向量：如果表示非零向量Z的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称此向量Z为直线/的方向向量.(2)平面的法向量：直线L,取直线/的方向向量1,则向量叫做平面。的法向量.2、空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线小/2的方向向量分别为*，4

4、4nl/n2O/=n2hiw2w1w2=0直线/的方向向量为7，平面a的法向量为前I/aLmO/W=OIlanm=m平面a,的法向量分别为3,na/nm=maLHWH7=0知识点4利用空间向量求空间角1、异面直线所成角设异面直线。，6所成的角为仇则CoSe=2、直线与平面所成角如图所示，设/为平面。的斜线，ICia=Af9为,与。所成的角,则Sine=卜OSVa,卜,其中1,石分别是直线a,6的方向向量.而-B/1a为/的方向向量，为平面。的法向量，3、二面角若4B,CQ分别是二面角-/的两个平面内与棱/垂直的异面直线，则二面角（或其补角）的大小就是向量荏与丽的夹角，如图.平面。与附目交于直线

5、/,平面Q的法向量为/平面汽的法向量为%,=,则二面角/为。或-9.设二面角大小为9,则ks同=ICoSM=FTi3,如图瓦CIw-IrM知识点5利用空间向量求空间距离1、点到直线的距离已知直线/的单位方向向量为，4是直线/上的定点，P是直线/外一点，设向量处在直线Z上的投影向量为役=m则点P到直线I的距离为“2一（优）2（如图）.2、点到平面的距离已知平面的法向量为,4是平面内的任一点，P是平面。外一点,过点产作则平面的垂线/,交平面于点0,则点P到平面的距离为尸Q=四（如图）.Fl3、线面距和面面距线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。AB（1）直线与平面之间的距离：

6、3 32_三个式子和力口可得+刃+=_/（方+而+PC)= 4 + P + PC = -2( + 6+c),) = ( + 3+c),故选：D= -PA-(PB-PA + PC-PA3、XOP=AP-AO=-PA-AM=-PA-aB+AC)=-PA-(pB-PA+PC-PA)=-PA-PB-PC=-PA+PB+PC,3333、二、证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点（尸，A,6）共线空间四点（M,尸，A,8）共面用=加且同过点PA7=X总+成对空间任一点。，办=次+弟对空间任一点。办=曲+x就+_）磁对空间任一点o,P=x+(-x)b对空间任一点O,P=x+yk+(-y)b【典例1】（20

7、22全国高二专题练习）己知向量q,5，C不共面，AB=4+5+3c*AC=23+cAD=6a+lb+5c-求证：B,C,。三点共线.【答案】证明见解析【解析】因为而二4+5坂+3），AC=2a+3b+cAD=6a+7b+5c所以胚=就一刀=2一+3一+_（4一+51+3一）=_2_2-2c,BD=AD-AB=6+7b+5c-（4a+53cJ=2+25+2c,所以肥=一而，所以前前,乂8为公共点，所以8,C,。三点共线.【典例2】（2022全国高三专题练习）如图，在平行六面体45C。-4AGA中，Cfi=IEC1AC=3FC.（1）求证：A、尸、E三点共线；（2）若点G是平行四边形8/CG的中心

8、，求证：。、F、G三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，C=2EC,4C=3FC,toJF=Z+V=Z+4C=Z+（jS+jd-Z）=AB+AD+AA,=-（AB+AD+-AA.）,333132AE=AC+CE=AB+AD+-CC.=AB+AI）+-AA.,2,21,-2故力尸=4E,由于4R/E有公共点儿故4、F、E三点共线：（2）由题意，点G是平行四边形5乃CG的中心，故而=5+而=荏T汞=荏T存+历_赢）21121一1=ABAD+-AA.=-（.ABAD+AA.）,333,322,2故。尸=3。G,因为QEoG有公共点。，故。、尸、G三点共线.【典例3

9、】（2024全国高三专题练习）在四棱柱48CQ-48GA中，屏=取,麻=攵用,Dfi=kCH=kDfi.3_.（1）当=a时，试用力8,4D,44表不力产；（2）证明：E,F,G,H四点共面；111【答案】（I）AF=-AAy+-AD+-AB-（2）证明见解析444【解析】（1）四棱柱彳次第一44CQ中，曲=祠+而，3因为=4所以=赤+市=:西+麻一屏=：函+:而3取=!函+:布=AA.H-ADHAB；444（2）AC=AB+AD（Z不为0）,=3丽-瓦!）+M丽-取K*阿+（而一印）=4存+丽，则前,南,丽共面且有公共点E，则瓦尸,G,四点共面；【典例4】（2022全国高三专题练习）如图，在

10、几何体48CQK中，AABC,BCD,E均为边长为2的等边三角形，平面4?C_L平面BCD,平面OCE_L平面88.求证：A,B,D,七四点共面；【答案】证明见解析【解析】取C。的中点H,连接EH,取BC的中点。，连接/0,00,因为平面DCE_L平面BCD,FL平面DCE平面BCD=CD,而（无为等边三角形，所以EHLCD,因此77J.平面BCD,因为平面46C4平面5CD,且平面48CC平面6CQ=BC,又因为ABS为等边三角形，所以。O_L8C,因此OOL平面/8C,又因为40u平面力BC,因此。O_L40,又因为C为等边三角形，所以8C_L40,因此。4。民。两两垂直，从而以。为坐标原

11、点，04所在H线为X轴，所在门.线为V轴，OD所在直线为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，又因为4BCqBCDqCDE均为边长为2的等边三角形，所以。(0,0,0),C(O,TO),5(0,1,0),d(o,O,3)(3,0,0)设E(m,%f),则由=-m,-,y-r,而=(0,-1词，BC=(0-2,0),H = 3由于.丽.丽=0, EH BC = O因此七3,-,y-j,所以诟=-岑，A4=（3,-l,）,55=（,-1,3）,所以而=0+；而，由空间向量基本定理可知：丽,瓦3,而共面，所以4民。,E四点共面;三、空间向量数量积的应用1、求夹角：设向量），书所成的角为氏则COSO筛,进

12、而可求两异面直线所成的角;2、求长度（距离）：运用公式W=ZZ,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；3、解决垂直问题：利用Zj_坂U*=0Gw6W。），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。【典例4（2023全国高三对口高考）若Z为非零向量，alb9acj=ab+c（a.eRm/a,则蔡与7一定（）A.共线B.相交C.垂直D.不共面【答案】C【解析】因为LMaJ所以5=0，c=o,又因为7=B+夕3（二、夕R）,aJ=aab+3c）=aab+ac=0,所以又因为加A,所以加_L7.故选：C【典例2】（2023河南校联考模拟预测）如图，在平行六面体488-4片CQ中，底面438,

13、侧面4/。都是正方形，且二面角4一彳。-8的大小为120。，48=2,若P是CQ与CDI的交点,则彳尸=（）A.3B.5C.7D.3【答案】B【解析】在平行六面体池GA中，四边形。AGC是平行四边形，又P是GOeA的交点，所以P是Go的中点，所以N=而+而=而+g（皮+函）=g荏+亦+g,ULULlLlll由题意484O=0,AS-AA1=-2ADAA1=O所以万2=（g存+而+g同=AB2+AD+AAiABAD+ADAA1ABAA1=5,即一尸=JL故选：B.【典例3】（2024全国高三专题练习）如图，正三棱柱/8。-力0中，aa=2AC=2t4瓦=d,ACl=b,AxA=c,BIM=2C,

14、（1）试用乙B,1表示前；（2）求异面直线创1与4C所成角的余弦值.【答案】(1)BM=-ab-ci(2)辿3320【解析】(1)因为丽=2国，ULILrmuuluuUUIrouuldUUlr2uuLDruuur2uuli2UULlruuu2r2rr所以BM=+BlM=-AyA+-BiCi=-AlA+-AlCl-AxB=-AxBx+-AyCy-AiA=a+b-c-(2)因为M=9+福=9+HjaI=W=，同=2,Zc=5c=0*Gb=3,可得|不耳=，好+2/2+同=石，2103黠揣=4.k4.工号+2魏.Q与=3333311220 ,IiuirUUur/唔*AfiBMThillcos(C,B

15、M)=Ttttftrj-FtttftrT=-=/4CH5所以异面直线BM与A1C角的余弦值为恒.20四、利用空间向量证明空间线面位置关系1、利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示【

16、典例1】(2023全国高三专题练习)如图，在四面体C。中，平面5CQ,BCLCD,AD=2,D=22.是4。的中点，尸是3M的中点，点。在线段4C上，且4。=3。.证明：PQ平面BCD；【答案】证明见解析【解析】因为8。ICQ,4)J_平面BCD,故以C为原点，C8为工轴，Co为)，轴,过点。作D4的平行线为N轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CO=4,0q2,则BC=J8,可得O(q,0,0),C(0,0,0),(,8-a2,k4(,0,2),因为M是4O的中点，则”(d,l),则噌J，因为力0=3,0停0，；)，InJrrays-a21可得尸。=,42因为平面BCD的法向量可取为斤二(0

17、,0,1),则而万=0,且尸。已平面8CO,所以尸0平面8C0.【典例2】(2023全国高三专题练习)如图所示，平面P/OJ_平面/8C。，四边形45C0为正方形，&PAD是直角三角形，.PA=AD=2,E,F,G分别是线段04,PD,CT)的中点，求证：平面石尸G/平面P8C.【答案】证明见解析【解析】因为平面以O_L平面/8。，四边形48C。为正方形，必。是直角三角形，所以45,AP,/Q两两垂直，以4为坐标原点，AB,AD,力尸所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),(0,2,0)j(0,0,2),E(0,0,l),F(

18、0,l,l),G(120).所以方=(2,0,-2),Ff=(0,-1,0),FG=(1,1,-1),BC=(0,2,0),设=(玉,乂,Z)是平面EFG的法向量， n,.FE=0f-y1=0则勺_LFE,%上FG,即一,得八，W1FG=Olx+yi-z=令Z=l,则*=1,M=0,所以E=(LO/)，设2=(Z，夕2*2)是平面尸BC的法向量， 一f%尸8=0(2x2-2z2=0 .尸8,_L8C,即一，得入，-w2BC=O2%=0令Z2=l,则x2=1,%=0，所以a=(1,0,1),所以成;,所以平面由G平面PHe【典例3(2024全国高三专题练习)如图，在四棱锥P-中，底面48CD是正

19、方形，尸41底面ABCD,E是PC的中点，己知48=2,PA=2.(1)求证：AELPD(2)求证：平面P80_L平面4C.【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析【解析】(1)以力为原点，AB,AD,4尸所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则5(2,0,0),C(2,2,0),O(0,2,0),P(0,0,2),(1,1,1),UUUI所以4E=(1,1,1),P。=(0,2,-2),所以荏而=2-2=0，所以(2)连接80,AC,如图所示，因为尸4，面/3CQ,BDU面4BCD,所以04_L8。，又因为四边形力58为正方形，所以BOlAC,又因为4C114P=%

20、,AC.XFutfiHC,所以3。，面R4C,又因为8。U面P6Q,所以平面PBOL平面4C.五、用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是33,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.【典例1(2023秋江西抚州高三校考开学考试)在正方体力BCo-44G。中，E是棱力。上一点,DE=2E,尸是棱DC上一点,FC=WxF1则异面直线力也与8厂所成角的余弦值为()R病68r 6534f【答案】A【解析】不妨设/8 = 1,以。为坐标原点，Q4O

21、C,0q所在直线分别为X轴，歹轴, 则 4 (1,0,1),EG,0,0)Q(0,0,1),8(1,1,01。(0,1,0),裾二 (TO,一1),西BDl(TTI)QC = (OJ-I),所以而=西+*=西+河=TV詈所以CoS而花二苛前二弯,所以异面直线4E与8尸所成角的余弦值为姬.故选：A【典例2】（2023四川眉山仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱/灰?-4耳G中，BC工面4CC/,CA=CC1=2C5,则直线BCl与直线力用夹角的余弦值为（）A.巫B.且C.在D.I5355【答案】C【解析】在直三棱柱46C-4gG中，CGL平面力8C,/C、48匚平面/8。，所以CG_L4C,C

22、C11AB,平面力CG4，4CU平面4CG4，所以8C_L/C,所以。I、CCpC3互相垂直,以C为原点，分别以C4CCpCB所在的宜线为X、八Z轴建立空间直角坐标系,设C=CG=2C8=2,则C（0,0,0）,（2,0,0）,4（0,2），5（0,0,1）,C1（0,2,0）,可得葩=（-2,2,1）,BC；=（0,2,-1）,所以COS回函=意羸=舄咚所以直线g与直线阳夹角的余弦值为乎.故选：C.【典例3】（2023海南统考模拟预测）如图，四棱锥力-8CQE内接于圆柱，。为48的中点，CD和BE为圆柱的两条母线，AC+BC=2,四边形38E为正方形，平面EW与平面”。的交线以平面/CQ,当

23、四棱锥CQE的体积最大时，异面直线4E与CO所成角的余弦值为【答案】曰【解析】如图所示：设8C=x,因为力C+BC=2,所以4C=2-x,112V,bcde=-AC-BC2=（2-x=-x-x2,、44V,=-x2+X,令片=0,得X=或X=O（舍去），3 34 4当oxo,当一时，ro,33424所以当x=g时，P取得最大值，此时/C=：,SC=：,建立如图所示空间直角坐标系，所以荏则 C(0,0,0),力23则荏.m=2, 32所以C语称就留=安=今3所以异面直线力E与Co所成角的余弦值为，故答案为：4六、用向量法求解直线与平面所成角的方法如图所示，设直线/的方向向量为2,平面的法向量为7

24、,直线/与平面所成的角为向量与7的夹角为仇则有Sin夕=ICoSel=Zrlpz【典例1】(2023河北保定统考二模)如图，在长方体4BCQ44GA中，AB=BC=I,AAi=2,对角线用。与平面4/G交于E点.则4七与面所成角的余弦值为()A.IB.C.D.在3333【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系：45=(0,1,-2),布=(-1,1,0),设平面A1BC1的法向量为而=(Xj,Z),fJ5w=y-2z=0(y=2z则一土一，1C1w=-X+y=0(x=y令z=1,则y=2,x=2,所以而=(221),又函=。,1,2),因为点E在5Q上，设瓦=2函=GM,22),所以E(4,

25、2,24),所以乖二(41,4,22-2),因为4Eu面43G，所以4瓦加=0,所以(.7,4,24-2)(2,2,1)=0,所以2(4-1)+24+(24-2)=0,解得4=5,所以4七=(一找；)平面44Q。的法向量为日=(0,l,0),设4与平面力4。Q所成角为。，122所以Sina =至万II二？1正。，3碎2(-2,所以CoSa=JI-sir?a=Jl-)?=,故选：D.【典例2】(2023全国高三专题练习)如图，己知菱形48Co和矩形4CEE所在的平面互相垂直，AB=AF=2,NADC=60.求直线与平面ABCD的夹角.【答案】74【解析】设4C118O=O,因为菱形力BCO和矩形

26、XCM所在的平面互相垂直，平面/8CoC平面WCE/=4C,矩形力CE尸中XT7，/。，又4Fu面/CEF,所以NE平面48CQ,以。点为坐标原点，以OD所在仃.线为X轴，04所在直线为y轴,过。点口平行于的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，因为在菱形NBCD中，AB=2,NWC=60。，所以C是正三角形，则OB=VL又AF=2,则6(-6,0,0),尸(01,2),因为Z轴垂宜于平面48CQ,因此可得平面力BCO的一个法向量为玩=(0,0,1),又丽=(J,2),设宜线8尸与平面488的夹角为eoe函的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向，建立如图所示的空间百角坐标系AUz.故巩O,O,O),

27、(,3,),Dpy,2,C(1,O,O).设平面ABD的法向量为 =(Xj,z),从而而=(,J,),而=(g,当,2,JC=(l,-3,).HBA = O nBD = Q岛=O得13+y-+2z=0取X=4,则G=(4,0,-1)为平面ABD的一个法向量,所以cos +yB+z）其中正确命题的个数是（）A.OB.1C.2D.3【答案】A【解析】对于，若向量石共线，则向量石所在的直线平行，也可能共线，故错误;对于，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故错误；对于，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系,z轴所在的向量两两共面，但是显然xj,z轴不共面，故错误；对于

28、，若。,坂共线时，显然,B,c共面，于是x+yB+zc只能表示和出坂,。共面的向量，对于空间中的任意向量，则不一定成立，故错误.于是四个选项都是错的.故选：A【典例2】（2023秋重庆万州高二校考阶段练习）（多选）以下四个命题中错误的是（）A.向量,b若25=O,则值_/.6B.若空间向量加、万、力，满足而五,npt则C,对于空间向量而、万、P,满足玩=万，万=万，则而=万D.对空间任意一点。和不共线的三点/、B、C,若丽=2而则尸、A.B、C四点共面【答案】ABD【解析】当Z为零向量时，满足5=0,但是Z与否不垂直，故A错；当G为零向量时，而与万不一定共线，故B错；相等向量具有传递性，故C正

29、确；因为2-2-l=-ll,所以P,4,8,C不共面，故D错.故选：ABD.易错点2忽视异面宜线的夹角与向量的夹角范围不同点拨：两异面直线所成角的范围是（0,1两向量的夹角的范围是0,乃，需要注意两者的区别与联系。【典例1（2022安徽安庆校考三模）已知直平行六面体ABCD-aCiDl中，441=48=8C=BAD=60,则直线BG与。8所成角的余弦值为（）A.B.YC.-D.O424【答案】A【解析】取48的中点厂，连接。尸，因为48=5C=2,N历Io=60。，所以48=ZO=2,故AABD为等边三角形,故。尸，力8,所以。尸_LCO,又平行六面体ABCD-ABGR为宜平行六面体，故以0为

30、坐标原点，。尸,QC,。口所在直线分别为占KZ轴，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0）,5（6l0）C（0,2,2）,设直线BG与DB所成角的大小为,则SS因CM国词I=喀早钾网上钾走I71BGHOq3+l43+l02224BG与。8所成角的余弦值为也.故选：A4易错点2线面角与向量夹角转化不清等问题点拨：若直线与平面所成的角为。，直线的方向向量为G,平面的法向量为G,则sinO=cos容易出错的是误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；不清楚线面角的范围。【典例1】（2023秋四川眉山高三校考阶段练

31、习）如图所示，在圆锥。中，。为圆锥的顶点，O为底面圆圆心，48是圆。的直径，C为底面圆周上一点，四边形力OOE是矩形.（1）若点尸是BC的中点，求证：DF”平面力CE；（2）若AB=2/BAC=ZACEW,求直线Co与平面E所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）叵4【解析】（1）。、尸分别是46、BC中点，连接。尸，则。尸/4C,OEa平面CE,4Cq平面NCE,则。尸平面4CF,四边形/10QE是矩形，ODHAE,同理有。平面NCE,又11。二。，U平面DOF,故平面ODFH平面ACE,又。FU平面OD/，故。尸平面/CE.（2）解法一：在圆锥Oo中，平面48C,。U平面18。旦则

32、平面ABDE1平面ABC,平面48。En平面ABC=AB,作CG_L/8于点G,连接OG,则CG_L面ABDEQG是CD在平面ABDE上的射影，ZCDG是直线CD与平面ABDE所成的角，在直角三角形45C中，AB=2BACq,则彳C=1,5C=,CG=乎,DOL平面ABC,AE/DO,则AEL平面ABC,在直角三角形Za中，AC=,S4Cf=y,则/E=J,OO=J,8=2,在直角三角形CQG中，sinZC=-=，CD4故CoSNCZ)G=l-sin2ZCPG=,即直线CD与平面ABDE所成角的余弦为.44解法二：在圆锥。中，DOlY-ABC,在直角三角形/8C中，AB=2,ZBAC=则/C=1,BC=B在直角三角形4C1中，C=1,ZJC=p则4E=IO=J,建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),4(1