专题07导数与隐零点问题（讲）【解析版】公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、第一篇热点、难点突破篇专题07导数与隐零点问题(讲)真题体验感悟高考1. (2021全国高考真题(理)已知0且4l,函数f(x)=(x0).a(1)当=2时，求/(x)的单调区间；(2)若曲线y=()与直线y=i有且仅有两个交点，求。的取值范围.【答案】(1)(。，*匕单调递增：击,内)上单调递减：(2)(Le)La【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；(2)方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=()与直线y=i有且仅有两个交点等价转化为方程?=等有两个不同的实数根，即曲线y=g()与直线y=等有两个交点，利用导函数研究g()的单调性

2、，并结合g(力的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到0等：,发现这正好是OVge)Vg(e)，然后根据g()的图象和单调性得到。的取值范围.“X2,(2x2t-2tln22v(2-xln2)【详解】(I)当=2时，W=T7W=T-I=J,2(2J4所以曲线y=f()与直线y=有且仅有两个交点，即曲线y=g()与直线y=等有两个交点的充分必要条件是0皿,这即是Og()g(e),ae所以。的取值范围是(Le)_(e,)方法二:构造差函数由y=f()与直线y=有且仅有两个交点知/()=，即/=在区间(。,a)内有两个解，取对数得方程Qlnx=Xln。在区间(O,+)内有两个解.构造函数g(

3、x)=4nx-XIna,x(O,+),求导数得g()=幺一Ina=生.XX当OVaVl时，出。0,8。)0,以1)在区间(0,+8)内单调递增，所以，g(x)在(。,+8)内最多只有一个零点，不符合题意；当l时，lnaO,令g。)=。得X=二，当XjO时，g(x)O;当X$三,+|时，g(x)O;所以，InaIInaJIlna)函数g(x)的递增区间为(o,J-),递减区间为.(InaJna)由于OVe 1 +8时，anxxna,即g(x)0,所以篇”,即lna0构造函数2()=Yina,则/()=1_=一，所以5)的递减区间为(Le),递增区间为(e,+),所以aa%)Me)=O,当且仅当=

4、e时取等号，故人0的解为l且e.所以，实数a的取值范围为(l,e)u(e,o).方法三分离法：一曲一直曲线y=()与y=有且仅有两个交点等价为工=在区间(0,+)内有两个不相同的解.因为八/，所以两边取对数得HnAEn-即=等,问题等价为g(x)=g与Pa)=等有且仅有两个交点.当0vl时，*l时，取以幻=Inx上一点(Xo,ln*,g(x)=Lg(XO)=Lg(X)在点(如ln0)的切线方程为xxoIna 1 一一-= a e, = ey-lnx0=-(x-x0),gJy=-x-l+lnx0.当=xT+lnXo与P(X)=z吆为同一直线时有，a直线P(X)=里吧的斜率满足：00,恤)在区间(

5、Le)内单调递增；aa4(e,+),2()l口e时有ef(x)=% O)Ja)=(4两边取对数，得即 Ina 1 ln(ln a).Q I ,即，方 (ln)”,4 ncr综上所述，实数”的取值范围为(Le)Ue-).方法四1：直接法axt,ax-axInaxaxfl,(a-xna)因为o,由r()=o得X=.Ina当OVaVI时，/(幻在区间(0,+8)内单调递减，不满足题意；当l时，7-0,由f(x)O得0xAjO)在区间(o,J-)内单调递增，由f(x)f,(%)在InaInavmaJIna区间(JL,+8内单调递减.Una)因为蚂/(幻=0,且吧/(x)=0,所以/j-,IInaJ令I

6、na=f,则fllnf,令Kr)=InX-A:+1,则I(X)=,所以z(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,抬)X内单调递减，所以力(x)=0,所以，一1之Inf,则f-lhv的解为fl,所以lnol,即awe.故实数的范围为(l,e)D(e,+8).【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成g(x)=ln与P(X)=山两个函数，

7、研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率a与一次函数的斜率比较得到结论.方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.2. (2019全国高考真题(文)已知函数/(x)=2siu-xcos-,f(X)为f(x)的导数.(1)证明：f(X)在区间(0,不)存在唯一零点；(2)若E0,时，f(x)r,求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(y,()【分析】求导得到导函数后，设为g()进行再次求导，可判断出当XG(O与时，g()o,当Tl乃)时，(x)0,从而得到g(x)单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；(2)构造函数r)=f(x)-依，通过二次求导可判断出(力而1

8、1=(万)=一2-%”(力皿=|二詈一；分别在一2,-2VaW0,00;当x(,r)时，g(x)O,此时g(x)无零点，即/(力无零点)送6)0,”()0.“宗乃使得6)=0./(力在0小)上单调递增，在(与,句上单调递减又ZZ(O)=0,h()=2an-cos-(a+)=-a0h(x)0在0,上恒成立,即f(力以恒成立当0一时，,(0)0,f)=当一.32e,yL使得(3=0/(%)在0,X2)上单调递减，在12段)上单调递增x(0,2),(x)A(O)=O,可知F(X)不恒成立当时，屿)皿=“图=詈心0(x)在(。段)上单调递减h(x)(x)三-7,因为函数/V)的定义域为(OJ)D(Lm

9、),所以f(x)O,因此函数f()在X-Ix(x-l)(0,1)和(1,”)上是单调增函数；1Ll2当x(O,l),时，0,jo,而/(一)=In-J=-r0,显然当x(0,1),函数人劝有零点，而函数/O)ee_|e-e在Xe(U)上单调递增，故当Xe(U)时，函数/(x)有唯一的零点；当x(l,+oo)时，/(e)=ine-J=上0,e-1e1e-1e-1因为f(e)f(e2)y,=-t所以曲线y=In4在4(x0,In/)处的切线/的斜率k=-t故IHl线.y=Inx在AaOJnXO)处的切Ir+X22线/的方程为：y-n%=-(X-XO)而InXO=一7，所以，的方程为y=一+它在纵轴

10、的截距为-设曲线y=的切点为5(Xd),过切点为3区,非)切线,y=y=e所以在8(%,泊)处的切线，的斜率为人，因此切线的方程为y=e+e(I-Xl),当切线，的斜率K=*等于直线，的斜率=-!时，即e*=X=Yn/),Xo%JV4*1切线/在纵轴的截距为么=e(lf)=U(l+lnXo)=-(l+ln),而InX0=、：，所以14=(1+U)=/7,直线/J的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线/,/重合，故曲线y=lnx在XO-IXOT4(%,InXO)处的切线也是曲线y=的切线.总结规律预测考向(一)规律与预测1 .高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导

11、法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.2 .涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等.零点问题中另有一个比较重要的存在,就是隐零点问题，隐零点就是指一个函数/(幻，可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用他的存在去解答题目.(二)本专题考向展示考

12、点突破典例分析考向一利用“隐零点”研究极(最)值问题【核心知识】在利用导数研究极(最)值问题时，我们往往利用零点的存在性，对函数的零点设而不求，通过整体代换、构造函数等，再结合题目条件解决问题.【典例分析】典例L【多选题】(2022安徽合肥一六八中学高三阶段练习)已知函数/(x)=?二T-x+，若/(x)在区间1,2上有零点，则后方的值可以为()112A.-B.-f=C.-D.1eee【答案】BCD【分析】由函数在区间1,2上有零点，则而二?一+。=0,结合函数/(x)=?二T-x+b可知点(。力)在直线x?二I+y-相=0,由小万可以表示原点到点(。力)的距离，问题进行转化，然后构造新函数进

13、行分析求出行万的值的范围【详解】设/(x)在区间1，2上零点为用，则必/一利+6=0，所以点P(a，)在直线Xdem-1+y_?=()上，由V*/=J(-o)2+(-o)2=IOPl,其中o为坐标原点.记函数gW) = g, q271,2,因为wl,2,所以g(m)在ml,2上单调递增所以g(间最小值为g=2，所以JTTF%,故选：BCD.典例2.(2022江苏淮安高三期中)己知函数/(X)=InX(1)求曲线/(x)在X=e处的切线方程；(2)已知g()二警-f(),求证：存在实数。使得g(x)在X=%处取得最大值，且g(x0)=/1+x求证：A(X)=4(x)-W(0)有唯一零点【答案】(

14、l)y=gx(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)利用导数可求得函数在某一点处的切线；(2)整理函数解析式，求导，构造函数，利用其单调性以及零点存在性定理，可得导数的性质，结合导数求得最值，可得答案；(3)函数求导，明确其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.【详解】(1)由y=lnx,则y=L,将X=e代入y=lnx,可得y=l,切线斜率Z=，Xe则yT=J(e),整理可得y=L.eeIn,/、1+x+InX(2)由g(r)=-lnx,g(x)=一一(+.，x0,设(x)=l+x+lnx,0,(幻在(。,用)递增，(m)=1+2一20,知3%oe(g,l)有1+o+In%o=0,且N

15、Cr)在(0,不)小于0,在(如”)大于0,Y*)在(0,%)递增，在(为,”)递减,nXx-J,.g(x)在X=Xo处取最大值，g(%)=jl-In=-In=T-InXO=X0.l+v01+% e = In ert -e = 1 -ea(3).h(x)=anX-X2(-)-又.v,所以0,X . (l) = -l0,故3xe,l , MX) = O且唯一,故函数(X) 二4(x)-x2(v)有唯一零点.【点睛】解决函数存在唯一零点，利用函数的导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得零点的唯性， 推广也可求得函数的零点的个数：当函数的导数时分式函数时，往往利用其分子构造成新函数，通过研究新函

16、 数的单调性和最值，可得导数与零的大小关系，可得原函数的单调性.,(a0),.,./7(回=-2工0,不存在零点；当XW号冗时，利用零点存在定理和/(x)单调性可判断出存在唯一一个零点；当x(肛48),可证得f(x)0,g匕J=-Sm5+由可=由可-10;TXoa时，/(x)o八9在(0,0)上单调递增，此时/(x)(0)=0,不存在零点,/万、22又/彳=Cos-=-/(0)=0,/图:Si吟-In。+?=lnl=0()o在卜。马上恒成立，此时不存在零点当Xe%、冗时，SinX单调递减，-In(X+1)单调递减/在飞上单调递减又f(f.f(7r)=sin7-ln(r+l)=-ln(+l)O即

17、/HIn(,+1)Ine=I.,.sinx-ln(x+l)+存在唯一实根，X令小)=住W五,o),(22+口._(表+1。X+1)r=_x2exex-InX_x2c(x-l)+lnx=?=?(x)=x2e-v(x-l)lnx=vlnx注意到Ml)=0,则r()=o,且当Xt(0,1)时，x-l0,lnx0,ev0,所以CyT)0尸(yT)+n0,即力(X)OJnx0,X20,ex0,所以户(XT)o*2()+hlo,即(力0；etex所以当X0,1)时,fx)Ot力单调递增；当x(l,+oo)时，,(x)，当(l,+oo)时，f()O恒成立；当X0时，f(x)f y0;,(x0)的大致图象为:

18、则函数尸。与函数f()=史:詈里=p+gI,(0)有唯一的交点,由图象可知或=!+时满足条件,所以方程x%=ov-lnx-l存在唯实根时，实数的取值范围是e(-,0ug+l故答案为：(-,0ug+l典例5.(2022.吉林.东北师大附中模拟预测)已知/(x)=T/一+sinx.若在X=冗处的切线的斜率是兀-2,求当4(x)在0,+)恒成立时的/1的取值范围;设g。)=/(X)-T/+2XTn(X+1),当Xe(Om时g(x)有唯一零点，求的取值范围.【答案】(I)(F,0;y,o)【分析】(1)根据导数的几何意义，求得参数。：再利用导数求解/(可在区间上的最小值，即可求得参数的范围；(2)对参

19、数。分类讨论，当O,即可求得此时的零点个数，再结合题意进行取舍即可.【详解】(I)/(x)=-x2-x+asinx,则r(X)=X-I+coSXf)=-l-a=-2,:.a=令次X)=X-I+cosx,则d(x)=I-SinXO恒成立，W力在R上单调递增,当x0时，(x)奴O)=0,即/(x)0恒成立，.(X)在0,+)上单调递增，.(V)min=F(O)=O人/。)恒成立，衣1)*=0X的取值范围是(-,0g(x) = l + cosxx+1当打。时g3在(。上单调递增，g(O)。，一.存在Xoe(O,兀)使得g(不)=O,当x(O,o)时，/U)0,g(x)单调递减,当x(0,tt)时，(

20、x)O,故存在唯一的f(%,兀)，使得g(f)=O,满足题意；当白0时，由x(0,乃)可得g(x)X-In(X+1),令(X)=X-Ina+1),1Y则(x)=l-=当x(0,)时，f(x)0,故人(幻在(0,)上单调递增，x+1x+1则力(X)M(O)=O,则g(x)O在(0,2上恒成立，故g(x)在(0,兀)上无零点.综上所述，4的取值范围是(-,0).【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数处理恒成立问题和零点问题；其中第二问处理的关键是在当0时，进行适度的放缩，属综合困难题.典例6.(2022甘肃靖远县第四中学高三阶段练习(理)已知函数/(x)=eJlnx.若X=I是F

21、a)的极值点,求力的单调区间；(2)若关于冗的方程/(x)=+1n恰有一个解，求。的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为。，+8),单调递减区间为(0,1)；(2)1【分析】(1)求出函数的导函数，依题意/(1)=0,即可求出。的值，再利用导数求出函数的单调区间；(2)求出函数的导函数八X)=丝I令g(x)=以eA-l,x(0,+),利用导数说明g(x)的单调性,由零点存在性定理可得存在Xoe(OJ+l)使得鼠飞)二，即可得到力的单调性，从而求出人力的最小值力依题意可得%)=+ln,即可求出天的值，从而得解.(1)解：因为/(%)=徙Z-InX,所以尸(X)=e*,因为X=I是/(力的极值点

22、，所以/=e-7=0,解得=l,经检验符合题意，所以f*)=ei-lnx,x(0,+0),f(x)=e-l-t又)，=1与y=-,在(0,+e)上单调递增，XX所以尸=尸在(,+)上单调递增，xr()=o,所以当OVXVl时八X)Vo,当1时八。)0,即f()的单调递增区间为(l,+),单调递减区间为(0,1)；解：显然。0,又r(x)=加二，XX令g(x)=0reAi-1,(0,+),则g(x)=(x+l)eZ0恒成立,所以g(x)在(0,)上单调递增,且g(。)=一1,所以存在XOe(O3+1)使得g(*=0,当x(0,与)时g(x)O,即f(x)O,即/(x)0,所以/(力在(O,M)上

23、单调递减，在(天,”)上单调递增，所以当x=/时/(力取得最小值,由g(%)=0,可得OXOee-I=0,即e%=一,则Ina+rT=-InJ,Xo因为关于1的方程/(x)=I+In恰有一个解，所以/(%)=l+ln,即ae%TTnT=I+ln4,所以ae&Jln.%(1+lna)=；+.%-2=0,当.=1时等号成立，由讹2=,，可得。=1,即。的取值范围为1；XO【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.【总结提升】已知函数有零

24、点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解考向三利用“隐零点”完成不等式恒成立或证明问题【核心丽1.不等式恒成立问题常见方法：分离参数“(恒成立(x)ma即可)或。力恒成立(g()恒成立的处理方法：y=()的图象永远落在y=g()图象的上方；构造函数法，一般构造/(X)=f(x)-g(x),F(x)min0；参变分离法，将不等式等价变形为(工)，

25、或ah(x)t进而转化为求函数(X)的最值.3 .利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1) Vx),m/(x)2/(-)min;VxD,772(x)W(x)ma;(3) Ire。，m(x)w(x)na;(4) 3xO,m(x)n(x)nin.【典例分析】典例7.(2022.浙江省新昌中学高三期中)若存在cR使对于任意XWJe不等式hu+乐(e2-2e)lrv+e恒成立，则实数。的最小值为()A.B.-e3e+1C.-eD.-1e-1e2-l【答案】D【分析】变形为则助x+b(e2-2e)lrve,由题意知直线y=r+h恒位于/(X)=也的图象上方，rrXSM

26、=2e1般+e的图象下方,b代表直线)，=以+力在N轴上的截距，当直线变化时观察b取得小值时满足X【详解】令小)丹，则小)=等故在(5D为增函数，()为减函数，且阿町在XC如图所示.令g(x)=(e、2e)ku+e,则g)=Qe-巧前+e?-女且gg)=e2(2e2-5e)0,(e)=-0,当x-,e时，g,(xo)3,l+21nx3_eJX所以2(e-l)x+S-(l+21nx)0X所以当XGLe时，/(X)O_e_所以当XcP,e时，A(X)为增函数，所以(幻有唯一的零点1,_e_所以与=,此时直线方程为y=-,故bmill=T故选：D【点睛】不等式恒成立求参数范围时常用的方法：完全分离参

27、数，此法比较简单，分离后只需研究不含参函数的最值即可；半分离参数，将参数招在一个形式比较简单的函数中，如一次函数或二次函数，另一边的函数可以是稍微复杂一点的不含参函数，将不等式恒成立问题转化为两函数图象位置关系求解；不分离参数，含参讨论，常常比较复杂要用导数研究最值.典例8.(2022.河北.高三期中)已知函数x)=2e+(x2-InX)+X.若。=2e1,求”的单调区间；(2)记函数g(x)=2-aln(x+l)+x+4,若f(x+l)g(x)恒成立，试求实数。的取值范围.【答案】(i)x)在区间(o,)上单调递增，在区间(,+)上单调递减(2)(-2,+)【分析】(1)由题意得r(x)=2

28、e+(2el)(2x|+l,令，(力=0求出零点，即可得，(力的单调区间；(2)+l)g(x)恒成立，转化为2eR+(x+iy+d-3o恒成立，=2ex+,+cr(x+l)2+x2-3,求导后，转化成两个函数的交点问题讨论函数单调性，即可求出实数。的取值范围.【详解】(1解：由题意得函数“力的定义域为(o,y),f,()=2e+a(2x-+a=-2e-l,则r(x)=2eX+(-2el)(2x+l,令f(x)=O,则=l,jf5l=2e2+(-2e-l)(l-2)+l=2e+2e+20,所以“可在区间(0,1)上单调递增，在区间(Lm)上单调递减；(2)解：若Fa+l)g(x)-l恒成立,则2

29、ev+l+tz(x+l)2-ln(xl)+x+l-x2-111(x+1)+x+4,整理得2e+a(x+l)2-Y+3,则2er+,+(x+1)2+x2-30,设MX)=2el+1+6(x+1)2+x2-3,则(x)=2er+,2a(x+l)+2x,令(x)=0,则2eA+2a(x+l)+2x=0,整理得尸=-(x+l)-X=-(+l)x-=-(+l)(x+l)+l,设y=ely2=-(+l)(x+l)+l,可知两个函数均过定点(T,1),若一(+l)=MI=e1+1=1,即=-2时，%=(+)+为y尸尸的切线,切点为(T1),当T+l)=l,即=-2时，h,(x)=Ofx=-l,不在定义域，不

30、合题意；当一(+l)vl,即。一2时，在区间(t,+),恒有y%,()=y-%o,所以MX)在(T”)单调递增，(-r)min=(-l)=O,则MX)0,符合题意；当一(+l)l,即av2时，设零点为3，则用-1所以MX)在(%)上单调递减，在(如”)单调递增，MX)min=MAb)=2e+6(+1)2-30,因为2er+,+2a(x+1)+2x=0,，2贝J-2a(0+1)2JlO+g(0+1)+x02-30a-l+-,又因为Xo-1,所以以2且wT,与av-2矛盾;综上所述，实数。的取值范围为(-2,+)【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等

31、式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.典例9.(2022.江苏常州高三期中)已知函数/(x)=e，-，g()=皿-Inx,R.若/(x)在x=0处的切线与g(x)在x=l处的切线相同，求实数的值；令尸)=f(x)+g(x),直线)，=加与函数尸(力的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为巧，证明：A1+X21.【答案】(IM=I(2)证明见解析【分析】由于/(x)在X=O处的切线与g(x)在=1处的切线相同，/(0)=g即可.(2)本问题为极值点偏移问题，可转化为单变量的不等式证明，构造函数，利用导数证明即可.【详解】(1)f,(x)=ex-a,(0)=l-a.g,(x)=a-,g(l)=a-l,1=-1,a=.检验=l时两个函数切线方程都是)，=1.(2)F(x)=ex-Inx,0,令G(X)=尸(x)=e-则G(x)=e+0,XXk(x)在(0,田)递增，户r(l)=e-lO,因为函数尸尸