专题23三角函数的定义及诱导公式（3知识点3题型3考法）（解析版）.docx

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1、专题23：三角函数的定义及诱导公式(3知识点+3题型+3考法)知近三角函数的定义,W启1刖枢里怀叫用G点P的纵.义(1)杆微角的二角函数定义点P的横三角函数 的定义及 诱导公式题型一：利用三角函数的定义求三角函数值题型二:三角函数值的符号判定题型三:诱导公式的应用养之比叫角的正切函数，记作tan =.它们都是以角为自变量，以考法一：给角求值、化简求值考法二:给值(或式)求值考法三：利用诱导公式证明恒等式标的比值为函数值的函数.(2)将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为：正弦函数y=3inx,xR;余弦函数y=cosx,xR;正切函数y=tanx,xk(kZ).(3)设。

2、是一个任意角，角Q的终边任意一点尸(X,)，那么设r=y2+y2,则Sina=上ICOSa=tan若已知角终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.知识点二：三角函数值在各象限的符号(1)设”是一个任意角，角”的终边任意一点尸(x,y),那么设r=(2+)户,则Silla=2,CoSa=tan=?.通过正弦、余弦和正切的计算公式可以确定符号rrX口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).知识点三：诱导公式公式终边关系图示公式公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等.sin(a+Zr2)=sinacos(aA,2)=cosa,其中攵tan(a+k2元)=tan,公式二角7r+与角的终边

3、关于原点对称5w()=-5wCOS(r+a)=cosatan(+(i)=tafia公式三角一(X与角的终边关于，轴对称建sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)-tana公式四角兀一口与角的终边关于、轴对称-sin(-a)sinaCoS(Tr-)=cose,tan(-(j)=-tana公式五筑SyA(LO)sin(-)=cosacos(y-a)=sina公式六4第Sinq+a)=cosacos(y+a)=-sma记忆口诀：可概括为奇变偶不变，符号看象限：“偶当A0(AZ)中k取偶数时(-,i),三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定;“奇”当口(AZ)中k取奇数

4、时(.,z),三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定；2-+a22题型一：利用三角函数的定义求三角函数值解题思路：设是一个任意角，角的终边任意一点P(,y),那么设r=J7”，则Sina=2；CoSa=-；tan=若已知角终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.rr例L已知产(1,加)是角。的终边上一点，tan=-2,则Sin。=()A.一走B.一在CTD.空5555【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出加的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.【详解】由三角函数的定义知：tan。=m=-2,所以sin=述.55故选：A.例2.如果角。的终边过点P(2sin60o,-2cos60。

5、)，则COSa=()A.-B.yC.-D.2222【答案】D【分析】先算点P坐标，然后由三角函数定义可得.【详解】由题可得P(G,T),因为/=,3+1=2所以cosa=r2故选：D例3.已知角。的顶点为原点，起始边为X轴非负半轴，若点P(4,y)是角。终边上一点，且Sine=-竽，则y=()A. 8B. 8C. 6D. -6【答案】B【分析】利用三角函数的定义可得出关于7的等式，即可解出y的值.I-MWJ因为点尸(4,y)是角。终边上一点，旦Sine=-差由：角函数的定义可得Sin夕257+475,则yO时，Sina=;/O时，Sina=55所以选项D正确，选项A,B,C错误,故选：D.6

6、.已知角的终边经过点P(T,-6),且COSa=4,则一+13sin a tana2【答案】J【分析】由题意结合三角函数的定义求出P(r,-6)点坐标，再求出Sina,tana即可求解【详解】因为角。的终边经过点P(T-6),且COSa=-得，所以3；PW解得X=；或=-3，22因为点尸的纵坐标为-6,且CoSa=0,13所以角a的终边落在第三象限，所以即尸(一宗-6),的212.y12所以Slna=,tana=一，13X51.rxlI11352Sinatana121232故答案为：-7.已知角a的终边经过点P(-4m,3m)(mA0),贝!2Sina+cosa的值可能为()3322A.-B.

7、C.-D.5555【答案】CD【分析】根据三角函数的概念求解Sina,cosa,即可得2sina+ssa的值.J( 一 4* + (3mj|5 年COSa =a(-4w)2 + (3w)2I5wI【详解】已知角a的终边经过点0)343(4则当用0时，sina=-,cosa=-,此时2sina+cosa=当机0时，sina=cosa=,此时2sina+cosa=2x1-之+22所以2sina+cosa的值可能为或-不.故选：CD.题型二：三角函数值的符号判定解题思路：设a是一个任意角，角a的终边任意一点P(v,J),那么设r=Jf+y2,则Sina=上；CoSa=孑；tana=E.通过正弦、余弦

8、和正切的计算公式可以确定符号rrX口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦（如图）.要考查两类题：第一类通过角所在象限确定三角函数的符号；第二类：通过三角函数的符号来确定角所在象限。例1.已知sin60,tanOO,则角。的终边位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解.【详解】由SinOvO,tan6。时,则由然0,COSe所以。为第一或第三象限角，反之，当。为第一或第三象限角时，tan60,所以sine+tan60,综上，。+121100是“6为第一或第三象限角的充分必要条件，故选：C例3.若tana0,则（）

9、A.Sina0B.CoSa0C.sin2a0D.cos2a0【答案】C【分析】根据tana0,得到。的终边在第象限或第三象限讨论求解.【详解】解：由tana0知。的终边在第一象限或第二象限，当a的终边在第象限时，Sina0,COSa0,sin2a=2sinacosa0,r2.2cos2a-sin2a1-tan2a彼太的，cos2a=cosa-sina=；=；-,符号不确定：cosa+sina1+tana当a的终边在第三象限时，Sina0,CoSa0,.2.2cos2a-sin2a1-tan2a父由rcos2a=cosa-sina=,付节不确AL；COS-a+sina1+tana故选：C变式训练

10、4 .已知COSetane0,吗0,则角。的终边在（）tanA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【分析】根据所给条件得到SineV0、tan。，CoSe0,即可判断.【详解】因为cosOtan。0,即cos0=sine0,COSe又sin0,gJtan=o,所以COSe0B.sincr+cosaOC.sin2O【答案】C【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项.【详解】因为为第二象限角，所以Sina0,CoSa0,tana0,则sin2=2sincos0,sa-sina0,Sinatana0,而Sin+cos的取值不确定.故选：C.CISinXlIcosXI

11、Itanxl.,l幺口目,、6 .若J-+l=-1,则X可能在的象限是()SinXcos%tan%A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】BCD【分析】对角X的终边的位置进行分类讨论，求出则+叵对+崛的值，即可得出结论.sinxCOSxtanX【详解】当X是第一象限角时，则+叵对+回1=3。-1,故X一定不是第一象限角；sinxCOSxtanX当X是笫二象限角时，陛竺L凶+国=ITT=T,即X可以是第二象限角；sinxCosxtanX当X是第三象限角时，则+也对+包即X可以是第三象限角；sinXcosXtan%当X是第四象限角时，则+座4+包1=-1+1一1=-1,即X可以是第

12、四象限角.sinXcosXtanx故选：BCD.题型三：诱导公式的应用考法一：给角求值、化简求值解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步躲(1) “负化正”：用公式一或三来转化.(2) “大化小”：用公式一将角化为0到360间的角.(3) “小化锐”：用公式二或四将大于90的角转化为锐角.(4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.例1.2022A.BB.-C.yD.-2222【答案】B【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】sin(黑+Sin,225兀+翡Si(务*故选：Bsinf+6t1例2.化简I21一()cos(-)A.tanaB.-tanaC.1D.-1【答案】D【分

13、析】直接利用诱导公式化简得解.sinf+alsinf2+alSinf4a【详解】12yl二I2J二12J=CoSacos(-a)-CoSa-cosa-cosa故选：D.例3.化简下列各式：cos(+cr)cos(3-cr)tan(+fz)sin(+a)cos(-a-)(2)sin(+a)cos(-a)+sin(2-a)cos(-a)-inOCOS(Tr+tan(-一【答案】1sin?【分析】利用诱导公式，化简求值.【详解】(1)原式=(一COSa)(-COSa)tanaSinaCOSa(一Sina)(-COSa)SinaCOSa(2)原式=-sinacosa+sin(-a)(-COSa)+si

14、n-COS祖一tan.Sina.2=SmacOSa=sina.CoSa变式训练4.已知/(a)=-a)cosIa+与sin(-a)化简/(a);若a为第三象限角，且cos(a-引=g,求/(a)的值.【答案】/(a)=-cosa(2)/(0=半.【分析】(1)利用诱导公式代入计算即可得/()=-cos;(2)根据角的范围将Sina=代入计算即可得/()=半【详解】(1) /() =sin(-a)cos(2 -)cosSinaCoSa (-Sina)SinaSina= eos c即/()=-COSaz 3(2) llicosl a-1=-sin a =-5可得Sina =.因为。为第三象限角,因

15、此/(a)=-cosa=JI-Sin2a故/(a)=平5.平面直角坐标系中，角a的终边经过点尸(1,6),则SinU-aj=()LRGC6DIA.-D.C.U.2222【答案】A【分析】根据角。的终边经过点?(1,6),求出角a的余弦值，即可求出结果.【详解】因为角。的终边经过点P(l,6),所以所以cosa =12 ,而信a = COSa = L(2)2故选：A6.已知角a的终边经过点尸(3,1),则Sin(T兀-a)勺值等于()3ior3iorionio10101010【答案】A【分析】根据三角函数定义得到COSa=3叵，再利用诱导公式求出答案.10【详解】因为角。的终边经过点P(3,l)

16、,所以CoSa=3101(S呜Lea=-还.107已知/()sin-2cos(+sin(-X)+cos(-X)化简/(x);(2)若OVaV%J()=6,求CoSa.3【答案】(1)一;tanx+1(2)COSa=一半【分析】(1)利用诱导公式和化弦为切化简函数;(2)利用同角三角函数的平方关系列式计算即可.【详解】(1) 力sinrx-2cos( +x)co&r+ 2cosxsin(-x)+cos(-x) sinx + cosx3cosY 3：SinX+cosx taA- +1(2)因为/()=0s=6,所以2sin+cos=0,sma+cosa5, 221Snra+ cos a = 1,解

17、得，cosa =-2sma j-a2C.y/ci2D.-y+a2【答案】B【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解.【详解】因为sin240otan15(T=sin(270-30)tan(180o-30c)=(-cos30)(-tan30。)=sin30。,且cos300=,sin3000，所以sin240tanl50o=sin30o=l-cos230o=l-2故选：B.例2.已知为第二象限角，若sin(空/一。)=：,则tana=()A.-45B.15C.-D.1515【答案】A【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案.、*区八,.(2023、-cos (一 )=

18、-cos a =则cos a =, 4【详解】Fhsinl-a=由为第二象限角，KJsina=l-cos2a=-所以tana=H吧=一后.4COSQf故选：A.cos(-)sin(2+)tan(2-)例3.已知cos”；，且qO,化简并求一Si唁TCOS(Aa)一的值.【答案】-22【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tana,然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.【详解】解：因为COSa=,且一a0,则Sina=所以，tana=-a=-3=-2&cosa3cos(-a-)sin(2 +a)tan(2 -a)-cos sin a( -tan s-a(+a(2) U(-cosa)(-sin

19、a)=tana = -22变式训练4 .已知角的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的正半轴重合，若角的终边与亍角的终边相同，则sin(%+a)-cos(2-)_.3()sn(-+z)、C. -3 + lD. -3-lA.y/31B.31【答案】C【分析】利用三角函数定义求得tana=-6,再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得tana=tan兀=-石，sin(+a)-cos(2-a)-sina-cosa-sina-cosasina+cosa11sing+)-sin)cosacosa故选：C.5 .(多选题)在力8C中，下列关系式恒成立的有()A.sin(J+B)=sinCB.cosI-I=sin

20、yC.sin(2z4+2)sin2C=0D.cos(24+26)+cos2C=0【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】对于A中，由Sin(N+5)=sin(乃-C)=SinC,所以A正确；对于BCOsII=COsIy-yI=Siny,所以B正确；对于C中，由sin(2+28)+sin2C=sin2(4+8)+sin2C=sin2(万-C)+sin2C=sin(2-2C)+sin2C=-sin2C+sin2C=O,所以C正确:对于D中，cos(2J+2B)+cos2C=cos2(4+8)+cos2C=cos2(-C)+cos2C=cos(2,-2C)

21、+cos2C=cos2C+cos2C=2s2C,所以D错误.故选：ABC.6 .已知wR,则下列式子恒成立的是()A.cos(-l80+)=-CoSaB.sin(2-a)=sina.(9/、C.snl-+1=cosaD.cos-a)=cos【答案】AC【分析】根据三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解.【详解】COS(-180+a)=cos(180-a)=-cosa,所以A正确；由sin(2万一)=sin(-)=-sin,所以B不正确；由sin(丝+=sin(4+q+)=sin(J+)=cos,所以C正确；V2)22由COS(-4一)=cos(r+)=-cos,所以D不正确.故选：AC.7.若

22、siCOSe是关于X的方程/S+=o的两个根，则CoSN-幻+sin仔+6【答案】2-l-l+A=Q2-40【分析】先根据韦达定理得到sin6+cos0=,进而求得*sin6+cos6,再结合诱导公式化简求值即可.sinCoSe=a2-40【详解】由题意得，Siile+cos6=,则0或4,SineCoSe=a又(Sine+cos。)*=l+2sinecos6,即/=+2,解得=1-或=1+五(舍去)，则sin6+cos6=l-垃，所以COS(O-T)+sin(与+夕)=cosf-2+-j+sinf+-+j=cos(e+g)Sin(I+，=-sin6-CoSe=-(Sine+cos6)=亚.故

23、答案为：J-18.已知是第三象限角，Sina =-得，则cos（-） =2【答案】标【分析】结合同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.【详解】因为是第三象限角，Sina =-得，所以COSa= -Jl sir =-12所以 cos(兀-) = -cos =-12故答案为：考法三：利用诱导公式证明恒等式解题思路：利用诱导公式化简和证明恒等式例1.求证：当左=2或3时,tan(H -a)tan( A + )sin acos(2hu-a)sin(2 + l) + cos3 a【答案】证明见解析【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.r ,v A7._ w,4、j tan(2 - a) t

24、an(2 + ) - tan a tan a tan2 a Sina【详解】TLl% = 2时，左边- - =;一:7=:-=cos(4 - a) sm(5 + a) CoSa (-Sma) cos a sin a cos a.,. tan(3 -a) tan(3 + a)- tan a tan atan a SmaI k = 3 时，左边=；=；=；=J-cos(6 - ) sm(7 a) COSa (-Sma) cos a sin a cos a综上， = 2或% = 3有原等式恒成立.例2. （1）求证:tan(2r - )sin(-2% - 1)cos(6r - a)., 3、/3乃、

25、sn( + )cos( + )=- tana设tan（ +苧求证.5 、 ,13乃、sn(-+ a) + 3 CoS(Q )sin(拳-)ros(+竿)nt+ 3 m + 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.【详解】(1)左边tan(-a)sin(a)cos(-a)(-tan a)(-sin a) cos aSin 2asin2r -(y- )cos2;T -(- a)sin-(y-a)cos-( ) -sin( 1 )cos( a)sin 1a sin a-Costzsin 0,COSX0,tanx0,IsinxI

26、cos%I2ItanxI故y=1+1-2=0,sinXcosXtanX若X为第二象限角，PMsinx0,Cosx0,tanx0,IsinxIcos%I2ItanxI故y=1-1+2=2,sinXcosXtan%若X为第三象限角,则SinX0,CoSXO,ISinXlIcosXI2Itanxl./，CLz故y=jU-1-1-2=-4,B正确；sinxcos%tanX若X为第四象限角，则5而0,1211丫O,则g是（）A.第二象限角B.第三象限角C.第一或者第三象限角D.第二或者笫四象限角【答案】D【分析】首先根据三角函数值的正负，确定角夕所在的象限，即可求解名所在的象限.2【详解】SineT=C

27、Os60,所以6是第三象限角,则7t+2型+2A,keZ,-+k-+k,AeZ,2224则角3是第二或者第四象限角.故选：D7.已知角X的终边上一点的坐标为S哼,cos*贝怖的最小正值为（）【答案】5 B. 31 lC.62 D. 3【分析】由诱导公式以及三角函数定义即可得解.【详解】由诱导公式可得Sin.= SinOJT 且注意到COSy = COScos -+ 2 I 3-2 335cos 6= COS-35= COS.3 = -sn ,3sin,所以 in,cos) = (5COSy,Siny L又（SiT,COS高为角X的终边上 点，结合三角函数定义知角X的最小正值为1.故选：B.二、

28、多选题8.若SinaanOO,则角。的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】BC【分析】利用三角函数的定义即可解答.fsin0【详解】因为SinetangO,则0tanO若sin9O,此时。的终边位于第三象限，若Sine0,tan6110.已知函数/(X)=门、3W，则/(/(T)=.KE【答案】-2【分析】根据分段函数的解析式可先求得/GD，继而可求得/(/(T)的值.21n,x1X/COsxr所以/(T)=G=G)=e,所以/(/(T)=/(e)=21ng=-2.sina+sin(+a)U.已知。的终边上有一点?(1,3),则一,的值为Cosliy-al+2c

29、os(-+)2【答案】j/0.4【分析】根据三角函数的定义，得到tano=3,再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解.【详解】因为的终边上有一点?(1,3),可得tana=3SinE-+sin(+),I2)cosa-sma1-tana2则#S=.31、-sina-2cosa-tantz-25cosl-al+2cos(-+)2故答案为：12.化简：nICOSItant+a)tan(-+)sin(-a)【答案】一CoSa【分析】利用诱导公式运算即可得解.【详解】解：；sin(-1)=-sin(-)=-cos0,(3.zCosl-+l=sn,tan(+)=tan,tan(-+

30、a)=tana,sin(加一a)=Sina,sina-cos+atan(+a).：.2)2)一COSaSlnatana=-COSCttan(-+a)sin(-a)tanasina故答案为：一CoS0.13.若48是锐角三角形48C的内角，则点P(COS6-sin4sin5-cos4)在第象限.【答案】二【分析】由4B是锐角三角形/8C的内角可知4+8,再利用诱导公式分析cosB-sinJ,sinB-cos/的正负即可.TT【详解】由题得cos8-sin/=Sin(-B)-sin4,因为锐角三角形45。，TT7TTTT故4+B,故sin(-B)sinAzJcos8sinAsin(54).即sinB-cosA0.故点P(cosB-sinJ,sinB-cosJ)在第二象限.【点睛】本题主要考查了根据三角函数的诱导公式以及单调性求三角函数值范围的问题等,属于中等题型.四、解答题14.求证:cos(-0)COM2-2COSeSinl4一6)1cos(+e)si116+，,一Sin+夕JSin。【答案】证明见解析【分析】直接利用诱导公式化简左边即得证明.-CoSeCOSe【详解】证明：左边二T77n+7一一T-7-CoSe(-COSe-I)-COSeCoSJ+cos6